Fizik –11 / a–

İçerik: Ne yaptığımızın farkında olmak ya da ol_A_mamak!

“Paradoks mu absurd mu? – b –“ bölümünde gördük (*); sıfırdan sonraki virgülden sonraki basamakların hepsinde 9 olan sayı 0,999… için 1’e eşit diyen ve bu dediğini kanıtladığı iddiasında olan hayli çok sayıda makale mevcut. (**) Aynı saçmalık çerçevesinde 0,999… sayısının 1’e (eşit olmasa da) en yakın sayı olduğunu iddia eden makale sayısı da hayli çok. Bu makalelerin hayli çoğunun gayet saygın sayılan dergilerde yayımlanmışlığı da hayli ilgi çekici.

Nedense, şu husus göz ardı edilmekte; A herhangi bir gerçek sayı (‘real number’) olsun. Eğer, 0,999… = 1 olsaydı, A+0,999… = A+1 olurdu. Yani, örneğin, 1,999… = 2, 2,999… = 3 vb. olurdu. Bu da her sayının birden çok değeri olduğu anlamına gelirdi ki, böyle bir durumda Sayı Kuramı (‘Number Theory’) ve dolayısı ile Sayı Sistemi var olamazdı.
Açıktır ki, 0,999… sayısının 1’e eşitliği, matematikten öte inanç (hatta boş inanç) krallığının egemenliğindedir. Bu krallığın sultasındaki öğretmenlerin öğrencileri için üzülmemek mümkün mü?

Oysa, bu satırların yazanı bundan altı yıl kadar önce niçin hemen alttaki işlemler dizisinin doğru olduğunu ama 0,999… sayısının 1’e eşit olmadığını bulmuştu. Dahası, bu tuhaflığın sayı sisteminin hangi özelliğinden kaynaklandığını da bulmuştu. Peki yayımladı mı? Yoo, hayır. Teşebbüs bile etmedi, “—Boşver, biri bulur nasıl olsa.” gerekçesiyle umursamadı. Gel gelelim başka bulan da, daha doğrusu herhangi bir yayımlayan kişi de çıkmadı. (Bu amaçlı bir literatür taramasına gerek yok; öyle biri çıksaydı, o andan itibaren ‘0,999… = 1’ konulu makale yayınlanmaz olurdu. )

0,999… = B olsun;
10×0.999… = 10B olur. Sonuç da
9.999… = 9 + 0.999… = 9 + B = 10B veya
9 = 9B, yani
B = 1 olarak saptanır mı?

“Hadi bari şu makaleyi yazıp bir Matematik dergisine yollayalım.” denir mi acep yakında? Denmese ne olur ki? Çok mu acaip olur? 0,999… sayısının 1’e eşit olduğuna inanan Matematikçi sayısının büyüklüğündeki acaiplik yanında mini minnacık kalır.
Aritmetiğin temeli olan Sayı Sistemi’nde durum yukarıdaki kadar vahim de Geometri de farklı mı acaba?

Günümüzden 2300 yıl kadar önce İskenderiye’de yaşamış Öklid’in “Elementler” (***) adlı kitabında nokta ‘hiçbir parçası olmayan şey’ olarak tanımlanmıştır. Parçası olmadığına göre, nokta parçalanamaz demektir. Bu kadarı açık da, ‘şey’ ne demek? İşte burası tanımsız. Belirtmeye gerek yok, pek çok şey var ‘şey’ olan. Yani ‘şey’ kümesi evrensel bir kümedir.
Bakınız “Mathematics and the metaphysicians” adlı kitabında Bertrand Russell ne demiş?
“Hipotezimiz herhangi bir şey hakkındaysa ve belirli bir veya daha fazla şeyle ilgili değilse, çıkarımlarımız matematiği oluşturur. Dolayısıyla matematik, ne hakkında konuştuğumuzu asla bilmediğimiz bir konu veya söylediğimizin doğru olup olmadığı olarak tanımlanabilir.” (****)

Öklid’in nokta ve çizgi tanımları için şu ifadeler de mevcut: ‘Nokta, büyüklüğü olmayandır.’ ve ‘Çizgi, eni olmayan uzunluktur.’ (#) Dikkate şayandır, burada (Kitap 1, sayfa 1, Tanımlar 1) ‘Bir çizginin uçları noktalardır.’ (Tanım 3) denmiş olsa da çizginin noktalardan oluştuğuna dair herhangi bir ifade mevcut değildir. Ama her çizgi rastgele parçalara bölünebilir olduğu ve her parçanın uçları da noktalar olacağından, çizginin noktalardan oluştuğu gibi bir mantıksal çıkarsamaya ulaşılabilir.

Aynı kaynakta, 15. ve 16. Tanımlar çember ve çember merkezine ilişkindir. Meali şöyledir: Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar çember oluşturur. Sözü edilen ilk noktaya da çemberin merkezi denir.

Bu konudaki bir sonraki yazımızda (##), buradan başlayıp Öklid’i ilk andığımız satıra dek geri gideceğiz.

(*) https://blog.metu.edu.tr/caglart/2024/10/16/paradoks-mu-absurd-mu-b/
(**) https://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=0.999&so=rel
(***)https://web.archive.org/web/20170701145939/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html
(***) Bu alıntının kaynağı için Bkz., https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%96klid_geometrisi
(#) Öklid’in Elemanları, Türkçesi ve notlar: Ali Sinan Sertöz
http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/Dersler/113/2018/oklid-kitap-i-sinan-sertoz-2018-5-8.pdf
(##) SAYI, ŞEKİL, ÖLÇÜM –b–
Fizik –11 / b–

A) https://www.rudaw.net/turkish/world/060520153

B) https://www.google.com/search?q=galileonun+parma%C4%9F%C4%B1&sca_esv=31c6f1c3e8feaf77&ei=a4RMZ8qxEu7kxc8P-aGZgQo&ved=0ahUKEwiKk7n89IaKAxVucvEDHflQJqAQ4dUDCA8&uact=5&oq=galileonun+parma%C4%9F%C4%B1&gs_lp=Egxnd3Mtd2l6LXNlcnAiFGdhbGlsZW9udW4gcGFybWHEn8SxSNGBAVC9E1jmaHAEeACQAQCYAaMGoAGZFaoBCTAuOC41LTEuMbgBA8gBAPgBAZgCBaACvQPCAgsQABiABBiwAxiiBMICCBAhGKABGMMEmAMA4gMFEgExIECIBgGQBgKSBwUzLjEuMaAHyhE&sclient=gws-wiz-serp

C) İkisi de biz homosapiens’i anlatıyor ve eşit derecede trajikomik.

D) Hiç biri.

E) Kararsızım /yanıt vermeyeceğim /diğer.

Fizik –10–

İçerik: Geçen günlerden gelecek günlere

“BÖL BÖL, NEREYE DEK? Fizik -2-“ bölümünde ve ilgili sonrakilerde gördük; Parmenides ve öğrencisi Zeno, günümüzden yaklaşık 2500 yıl önce, şöyle bir öneri ileri sürmüşlerdi: “Aşil ile bir kaplumbağa arasında bir düz çizgi hayal edelim. Bu çizgiyi yarıya, sonra onun da yarısına, sonra şunun da yarısına sonsuz kez böldüğümüzü hayal edebiliriz. Her yarının da bir yarısı olacağına ve böylece sonsuz yarı olacağına göre Aşil kaplumbağaya erişemez. Erişmeyi bırakın yerinden bile kıpırdayamaz. Demek ki, hareket yoktur. Hareket bir yanılsamadır.”
Aşil ve kaplumbağanın nasıl türeyip, boy atıp olgunlaştığı gibi konuları göz ardı edelim. Parmenides ve öğrencisi Zeno’nun kendileri hareket ettiğinde, örneğin gördükleri değiştiğinde eğer gerçekten hareket olmadığını ama hareket ediyor yanılsaması içinde olduklarını düşünüyor idiyseler, ileri sürdükleri ‘paradoks’ ile tutarlı yaşamışlar demektir. Ama belki de, hareket olmamasının bir gerçeklik değil de, hayalle gerçeğin bulamacının ‘mantıksal’ bir sonucu olduğunun bilincinde idiler. Böyle ise, son derece zekice tasarlanmış bir büyücülük örneği sergilemiş oldukları için hayran olmamak mümkün değildir.

Ara not: “Bütün Atinalılar keldir. Solon Atinalıdır. Öyle ise, Solon keldir.” önermesi ilk tümcenin doğru olması koşuluyla dorudur. Ama, “Solon keldir. Solon Atinalıdır. Öyle ise, bütün Atinalılar keldir.” önermesi, ilk cümlenin doğru olması halinde bile doğru değildir.
Aynı şekilde, “Havadaki ok herhangi bir anda hareketsizdir. Bir sonraki anda da hareketsiz olacağı için, hareket edemez. Demek ki, hareket yoktur. Hareket bir yanılsamadır.” ‘paradoks’u da tuhaf bir önermedir. Olsa olsa, doğrusu şudur: “Zamanın anlardan oluştuğu tezi yetersizdir; çünkü havadaki okun hareketini açıklamakta yetersiz kalmaktadır.”

Bugün bile, uzayın ve zamanın ne menem şeyler olduğunu bilmiyoruz. Kaldı ki, Aşil-kaplumbağa ‘paradoks’unda uzaydan söz edilmediğine dikkat edilmelidir. Orada, Aşil ile kaplumbağa arasındaki bir mesafeden, uzaklıktan yani hayali bir çizgiden söz edilmekte.

Bazı kaynaklarda Arşimet’e, bazı kaynaklarda da Tales’e atfedilen şu önermeye ne dersiniz? “Dünya’nın tam bir küre olduğunu varsayalım ve Ekvatoru baştan sona kat eden bir halat dolayalım. Diyelim ki, Ekvator uzunluğu E=40bin kilometre ve tam da aynı uzunlukta bir halatımız var. Bu durumda halatımızın uçları bir birine ancak değmektedir. (Küresel Dünya’da kutuptan kutuba geçen bir çemberin uzunluğu da Ekvatorunki kadar olacaktır.) Şimdi diyelim ki, bu halatı Yer’in her noktasından bir metre kadar yükseltmek istiyoruz. Halat uçları kaç metre (kilometre) kadar açılır veya halata kaç metre (kilometre) kadarlık ekleme yapmalıyız?”

Basit bir aritmetik işlemiyle sonuca ulaşmak kolay. Halat uçları 6,28 metre kadar açılır veya 6,28 metre kadar ekleme yapmalıyız. Ama ilk bakışta, sonuç sanki binlerce kilometre imiş gibi gelmedi mi?
Şimdi de diyelim ki, daha uzun bir halatı, çember şeklinde Güneş Sistemi’nin çevresine dolayacağız ve yine her noktasından bir metre bollaştıracağız. Halat uçları kaç metre (kilometre) kadar açılır veya halata kaç metre (kilometre) kadarlık ekleme yapmalıyız?
Peki ya Samanyolu çevresine dolasaydık?
Evet, çok haklısınız; hep aynı, yani 6,28 metrecik kadar açılma olur veya ekleme yapmamız gerekir.
Çünkü, R=yarıçap ise, E=2πR çember uzunluğudur ve yarıçap r=1metre kadar arttırılsa E’=2π(R+r)=E+2πr olur. Yahut, türev alarak (dE/dR) sonucun yarıçaptan bağımsız olduğu kanıtlanabilir.

İyi hoş, matematiksel olarak kanıtladık da, görgül (‘empirical’) yani deneysel kanıt elde etmek mümkün müdür?

Gerçi eminim, pek çok okuyucu “Gerek var mı ki?” diye iç geçirir. “Ne de olsa matematik doğrulama ortada.” diye düşünür. Ama, şunu da hatırlamak gerekir; karekök içinde eksi bir sayısı Fizik’te pek sıklıkla kullanılır ama gerçeklikte karşılığı yoktur. Örneğin karekök içinde eksi bir tane ekmek üretilemez. Bu konuya, yani Matematik ile Fizik arasındaki bağıntılara yakın ileride değineceğiz. O zamana dek, R. Feynman’ın ‘The Character of Physical Law’ kitabının ikinci bölümü olan ‘The Relation of Mathematics to Physics’i de yeniden okumuş olurum.
İşte o zaman dek düşünmek üzere, ‘Büyük Patlama’ diye yaygınca bilinen kurama dair bir iki not düşelim.
İlkin, bu kurama ilişkin deney ve matematik olmadığına, olamayacağına da, dikkat edilmelidir. Bırakın deneyi, ölçüm bile yoktur; olması da beklenmez zaten. Bu haliyle de Felsefe sayılsa, aykırı mı düşer?
Çok daha derinden bir karşı tez ileri sürmek de mümkün: ‘Kütle nedir?’ Bilmiyoruz ama F=ma eşitliği ile bir Fizik yasasını ifade ediyoruz. ‘Nesneler nasıl etkileşir, yani kuvvet nedir, nasıl oluşur?’ Bilmiyoruz ama bir önceki eşitliğin sol tarafına kuvvet ifadesi olarak F yazıyoruz. Demek ki, henüz ‘Fiziğin F’sini bile bilmiyoruz. Bir de kalkmış, evrenin ilk milisaniyesinde sıcaklık ne kadar imiş, hangi parçacıklar oluşmuş imiş gibi mevzulara akıl yoruyoruz.

Kim bilir, günümüzden 2500 yıl sonra da ‘gök kubbede kalmış bir hoş seda’ olarak ‘Büyük Patlayış’ kuramından söz edilir belki. Hatta π sayısının tam değeri de bulunmuş olabilir.

Sahi, Evren’in, Bilim’in, Fizik’in yasaları, evrenin en başından beri aynı mıdır, aynı mı kalmıştır? Nereden, nasıl bileceğiz?

SORU 1: Petrol fiyatları bakışımı (‘symmetry’) sever mi?
SORU 2: Severse, CRUDE fiyatları ilk etapda $67,00 dolayına dek ucuzlar mı?

İPUCU: Yok!

1,08 dolayı! (Paritelerin birimi olmaz.)

SORU: ‘SANAL BORSA FİNANSAL FİZİK -11-‘deki grafikler nasıl simüle edilmiştir?

A) Örneğin ‘XU030 5 DAKİKA HAKK. FİNANSAL FİZİK -12-‘deki gibi önce parabol denklemi girilip üstüne (pseudo)random sayılarla dekorasyon yapılarak.
B) Sadece (pseudo)random sayılar kullanılarak ve hep aynı formülle ve dışarıdan hiçbir denklem ve gerçek grafik parçası kullanılmaksızın.
C) A) ve B) birlikte.
D) Hiç biri.

CEVAP: B)

FİNANSAL FİZİK -12-

Alttaki grafikler XU030 5dakika periyotlu olup 21.11.2024 tarih 10:00:00 saat ile bugün 27.11.2024 tarih 15:55:00 saat arasını kapsamaktadır. Gerçek grafikte alta açık parabol davranışı gözlenmektedir. İlgili minik bir irdeleyiş sağdaki Excel grafiğindeki simülasyonda incelenebilir. Parabol denklemi, x simgesi 5 dakikalık çubukları göstererek, yaklaşık olarak şöyledir:

y = -0,0057x² + 3,7876x + 10117                    ve

x sayı olduğu için birimi yoktur, y’nin birimi ₺’dir.

FİNANSAL FİZİK -11-

Alttaki grafikler sadece Finans Fiziği ve böylelikle elde edilmiş Matematik formüller ve sadece (pseudo)random sayılar {excel’de =S_SAYI_ÜRET()     } kullanılarak üretilmiştir ve gerçek grafiklerden parça içermez. Bu nedenle, alttaki grafikler sıfır değerinden başlar ve zaman periyodları keyfi olarak (‘arbitrary’) seçilebilir; yani, 5dkk, 60dkk, gün, vs. olarak alınabilir.

Deutsche Bank’ın Küresel Ekonomi ve Tematik Araştırma Bölümü Başkanı Jim Reid, 2025 sonuna kadar endeksin 7 bin puana ulaşacağı tahmininin ABD hisse senetleri için sağlam bir arz-talep görünümünden destek aldığını ve bankanın hem hisse senedi hem de tahvil piyasalarına güçlü girişlerin devam etmesini beklediğini, ancak bu girişlerin biraz daha yavaş bir tempoda olacağını belirtti.
Bkz., https://www.bloomberght.com/deutsche-bank-in-s-p-500-de-yeni-hedefi-3735539

Hata kimde; Jim Reid’de mi, çevirmende mi, yayım editöründe mi?

Kim isterse iddiaya girerim; S&P 500, 7 bin puana asla ulaşamaz. Çünkü, S&P 500’nin birimi puan değil $’dır. Dün 6,021.60 puandan kapanmadı, $6,021.60’dan kapandı.

10750₺ düzeyini aşar. Tersi, yani “10750₺ düzeyini aşarsa yükselir.” önermesi (Türkçe gramerine uygun olsa da anlam bakımından) yanlıştır. Daha açıkçası; “Falanca fiyat X düzeyini aşarsa (/aşağı yönde kırarsa) yükselir (/düşer).” önermesi doğru değildir. Doğrusu şudur: ; “Falanca fiyat yükselecekse (/düşecekse) X düzeyini aşar (/aşağı yönde kırar).”
Minik not: Her fiyat gibi endekslerin de birimi vardır. XU030’un, DAX40’ın ve S&P 500’ün birimi, aynı sırada, ₺, € ve $’dır. Ama, her nedense, hiçbir yerde kullanılmaz. Demek ki, bir tahterevalli çelişkisi de burada mevcut; bu satırların yazanı ‘finansal okur yazarlık’ (← her ne demekse) fakiridir ama bazı piyasanın uzmanları, bazı tv kanalları ve bazı ekran yüzleri borsa endekslerinin birim sahibi olduklarından ya habersizdirler ya da o birimleri alenen gasp eylerler.