Fizik –11 / f–
İçerik: Ne yaptığımızın farkında olmak ya da ol_A_mamak!
Parmenides ve Zeno, günümüzden yaklaşık 2500 yıl önce demiş ki, mealen; “Aşil ile kaplumbağa arasındaki uzaklık L metre olsun. Aşil kaplumbağaya erişmek için önce yarıya dek gelmeli yani L/2 kadar ilerlemeli ama bu kadar ilerlemezden evvel de bu yolun yarısına gelmeli yani L/2’nin yarısı olan L/4’e gelmeli. Böyle böyle L uzaklığı (uzunluğu) kaç kez yarıya bölünse de asla sıfır elde edil_E_meyeceğinden ötürü yarılamalar sona ermez. Demek ki, Aşil yerinden kıpırdayamaz bile. Demek ki, hiçbir şey hareket etmez. Yani, hareket gerçek değildir, yoktur.” (*)
Bu yazının sonlarında Aşil_kaplumbağa ‘paradoks’una yeniden değineceğiz. İşte o zamana dek şuracığa not etmiş olalım ki, hayaldeki her uzaklık sonsuz kez bölünebilir ama içinde yaşadığımız uzayın sonsuz kez bölünebilir olup olmadığını bilmiyoruz. Parmenides ve Zeno da bilmiyordu. Uzayın sonsuz kez bölünebilir olup olmadığını saptayacak herhangi bir aygıt, araç, makine, teknoloji bugün mevcut olmadığı gibi Parmenides ve Zeno zamanında da yoktu elbet. Gelgelelim, “—Konumuz olan ‘paradoks’ insan aklını niçin bu denli uzun süre meşgul etti?” sorusuna verilebilecek pek çok yanıttan biri şu olabilir: biyolojik çeşitlilik. Yani, bazı insanlar, zihin yapıları gereği işbu ‘paradoks’u hayale dair değil de evrensel gerçekliğe dair olduğunu sanıyor olabilirler.
Dikkatli okuyucu anımsayacaktır; 0,999…=1 sanan, yani buna inanan hem de Matematikçi olan insan sayısı da hayli çok. (**) Peki, acaba Dünya’nın düz olduğuna inanan zamandaşımız kaç kişi vardır dersiniz? Buyrunuz, kendiniz bakınız. (***)
Parmenides ve Zeno ikilisinin havadaki okun da, herhangi bir anda hareketsizlik konumundan hemen bir sonraki andaki hareketsizlik konumuna geçerken, arada an olmadığı için aslında hareket etmediğini, bunun da; Aşil_kaplumbağa ‘paradoksu’ndaki gibi hareketin gerçeklikte var olmadığını ve saltık yanılsamadan ibaret olduğunu ileri sürdükleri biliniyor. Açıktır ki, ok hareket ediyor. Demek ki, zaman, süresi sıfır uzunluğunda olan anlardan oluşmuyor. O halde, zamanın en kısa süreli dilimi var mıdır? Varsa nedir? İşte bu gibi soruların yanıtını bilmiyoruz. Şunu da anımsatmaksızın geçmeyelim; bazı Egeli bilgeler, örneğin Demokrit, maddenin, bölünemez atomlardan oluştuğunu ileri sürmüştü.
Buradan D. Hilbert’e atfedilen ‘Sonsuz Büyük Otel Paradoksu’na geçmezden evvel şu hususa dikkat çekilmezse olmaz: Parmenides ve Zeno ikilisinin, Aşil_kaplumbağa ‘paradoksu’ ile gerçek uzaya dair bir gerçek paradoks ileri sürdüğünü düşünmüş olan pek çok ün sahibi şahsiyet adı ilgili literatür sayfalarında ve hatta işbu fakir bloğun sayfalarında mevcuttur. Hâl böyle ise, Parmenides ve Zeno ikilisi Aşil_kaplumbağa ‘paradoksu’nda uzayın daha küçüğe bölünemez parçası olmadığını ima etmektedir. “Her küçük uzaklık, uzunluk yarıya bölünebilir.” demektedirler satır aralarında, alttan alta. Ok ‘paradoksu’nda ise, zamanın daha küçüğe bölünemez uzunluktaki anlardan mürekkep, bileşik olduğunu savlarlar. Demek ki, uzay_zaman bakışımsızdır onların fikrinde. “Uzay daha kısaya bölünebilir parçalardan ama zaman daha kısaya bölünemez anlardan oluşmaktadır.” Parmenides ve Zeno ikilisine göre. (****)
Bir başka ünlü ‘paradoks’ da ‘Sonsuz Büyük Otel Paradoksu’dur. Bu ‘paradoks’ aslında
∞ +1 = ∞
ve
∞ +N = ∞
aldatmacasının animasyon halidir.
Neymiş efendim? Sonsuz odalı ve her odası dolu olan bir otele kaç yeni misafir gelirse gelsin (1 nodaki misafirler 2 nolu odaya, 2 nodaki misafirler 3 nolu odaya, böyle böyle N nodaki misafirler N+1 nolu odaya aktarılarak) o otelde konaklamaları sağlanabilir imiş.
“Sonsuz odalı oteli, nerede hangi malzemeyle inşa etmişler ki?” diye sormak bile abesle iştigal aslında. Peki ama M tane odası olan çok büyük bir otele 2M, 3M, …, KM sayıda yeni konuk kabul edilebilir mi acaba?
Yeni bir POP QUiZ yayımlamadan burada yanıtlayalım. Yanıt şudur: “Evet!” Peki ama nasıl?
Gerçek bir paradokstan söz edilecekse, Planck’ın Karacisim Işıması Formülü’nde, Einstein’ın Isı Sığası Formülü’nde sonsuz büyüklükte enerji değerlerinin niçin yer aldığıdır. Evrende var olmayan değerlerle evrende var olan ışıma şiddeti ve ısı sığası gibi bir değer nasıl elde edilebilir? Bu sonuca kaç kişi karşı çıkmıştır? Evrende var olan bir değeri yine evrende var olan değerlerle açıklamak ve ilgili formülü elde etmek mümkün değil midir?
Hadi şimdi, yukarıda ikinci paragraf başındaki sözümüzü tutalım ve Aşil ile kaplumbağa arasındaki mesafeyi, uzaklığı, yakınlığı ölçmeye çalışalım, bakalım. Ölçebilecek miyiz?
Ne ile ölçelim? Hadi bir uzun çelik şerit metre kullanalım.
Nereyi ölçelim? Aşil ile kaplumbağa arasındaki birbirine en yakın iki (yaygın kullanım anlamındaki) nokta arasındaki mesafeyi, uzaklığı, yakınlığı ölçelim. Tabii, ölçüm boyunca da Aşil’in de kaplumbağanın da taş gibi kımıltısız durduğunu varsayacağız. Bu nedenle elimizi çabuk tutalım ve metreyi Aşil’den kaplumbağaya doğru uzatalım. Hayır, hayır! “Yarıya gelmeden … “ diye başlamayın lütfen! Hep biliyoruz ki, metremiz de başka nesneler de hareket edebilir. Demeye kalmadan, metremiz daha uzamaz oluyor. Meğer, ön ucu kaplumbağaya değmiş bile. Daha fazla zorlamayalım, metremiz esneyebilir çünkü.
Bakalım bakalım bizdeki uca! X metre YY santimetre Z milimetre görmüş olalım. Demek ki, şöyle yazabiliriz bu uzaklığı: X,YYZ metre.
Ama, biraz zorlayıp esnetmiş olabilir miyiz acaba metremizi, az önce? Tereddüte mahal yok! Yeniden ölçeriz. A_aa! Bu kez de X,YYW metre mi ölçtük? Ne yapacağız şimdi? Ortalama mı alalım; yeniden ve üçüncü bir ölçüm mü yapalım?
Kaç ölçümde durmalı? Kaç ölçüm yeterli olur? Ölçüm sonuçları niçin aynı çıkmıyor? Metre hep aynı metre, değişmiyor. Aşil ve kaplumbağa aynı, aynı yerdeler, kımıldamıyorlar. Başka her şey de aynı ama “başka her şey de aynı” anlamındaki ‘ceteris paribus’ veya ‘si omnia eadem’ gibi Latince kelâmın hükmü var mı?
Şu kadarı besbellidir: Heraklit’e atfedilen “Aynı derede iki kez yıkanamayız.” sözü doğruysa aynı metreyle de iki kez aynı sonuç elde edeceğimiz uzunluk ölçümünü yapamayız. Tesadüfen pek çok kez X,YYW ölçüm sonucu elde etmiş olabilmemiz, virgülden sonra sadece üç basamak kullanmış olmamızdandır. (#)
Daha duyarlı ölçüm aracı örneğin lazer metre (#*) kullanmak çözüm olabilir mi?
Önceki yazılarımızda değinmiştik; ışığın duyarlılığının ölçütü dalga boyudur. Uzun dalga boylu optik mesafe ölçme araçları kullansak, o ölçüde hata payını baştan kabul etmiş oluruz. Çok kısa dalga boylu, lazer ışığından da kısa dalga boylu ışık, örneğin X_ışını veya γ_ışını (gamma) kullansak türlü çeşitli zararlara yol açmış oluruz. Peki, bu konuda çaresiz miyiz? Evet, çaresiziz! Aşil ve kaplumbağa arasındaki mesafe kadar herhangi bir uzunluk, uzaklık ölçümünde bir önceki veya bir sonraki ölçümün sonucunu elde etmek doğrudan doğruya kullanılan ölçüm aracının yüksek duyarlıklı olmayışının eseridir. Ölçüm aracımız ne denli duyarlıysa, ölçüm sonuçları da o denli geniş bir yelpazeye yayılmış olarak elde edilecektir.
Kolay bir deney olarak, masanızın kenar uzunluğunu, odanızın tavan yüksekliğini ölçebilirsiniz.
Özetle, hatalı ölçüm yoktur. Çünkü her ölçüm hata içerir. Yani, hangi ölçüm kusursuzdur? Bu soruyu yanıtlamaya çalışmak bile abesle iştigaldir. Çünkü, bir ölçümden diğerine ölçüm aracı ve ölçüm nesnesi yani her ikisi birden değişmiş olabilir.
Bu konuda ders kitaplarında bile vahim yanlışlıklar bolcadır. Şu soruda olduğu gibi: ‘Bir kuyuyu bir işçi 10 saatte kazıyor. Aynı kuyuyu 10 işçi kaç saatte kazar?’
“—Bir saat mi dediniz acaba?”
“—Evet!” ise, fena halde yanıldınız ne yazık ki! Çünkü, önceki ile aynı kuyuyu nerede(n) bulacaksınız? Ah, ‘bir işçi yerine on işçi kazsaydı’ mı denmiş olsaydı keşke? Bu kez de, o kuyunun bir tek işçi tarafından ne kadarlık bir sürede kazılmış olabileceğini nereden ve nasıl bilebilecektiniz? Hem, on işçinin kazmaları, kürekleri birbirine takılmayacak mı? Konuşmayacaklar mı?” ve benzeri pek çok soru sıralanabilir ardı ardına.
Bir de şu hayali deneyi yapalım. Diyelim ki, her şeyiyle olabildiğince benzeş (tıpatıp aynı olamayacağı için) H tane digital göstergeli elektronik saatimiz olsun. Yine diyelim ki, bunların hepsini aynı anda başlattık. Zamanı da hangi duyarlılıkta ölçebileceğimizi tartışmaya artık gerek yok sanırım. Şunu da atlamayalım; hepsini birbiri ile paralel bağlayıp elektrik vererek başlatsak bile başta farklılık yaratmaktan kaçınamayız.
Ama, asıl belirtmek istediğimiz konu gayet farklı. Diyelim ki, dijital göstergeler gün, saat, dakika, saniye olarak sol tarafında virgülün, sağ tarafta ise mili saniye (saniyenin binde biri) mertebesinde göstermekte zamanı. İşin başında; yedi virgül solunda, üç de virgül sağında olmak üzere on tane penceredeki (Çok daha fazla olsa da ne değişir?) 0 ile 9 arasındaki rakamlar tıpatıp aynı koşarken, zaman ilerledikçe farklılıklar oluşacaktır.
Peki, vaziyet buysa, biz faniler saatin gerçekte kaç olduğunu nereden bileceğiz? Zamanı nasıl ölçe_BİL_eceğiz?
Bu yazının son sorusu da, konusu da şu olsun: Alttaki ABD B-52 bombardıman uçağında ne kadarlık bir simetri hatasına tolerans gösterilir ve motorların eksenleri kesinkes paralel midir gövde eksenine?
(*) https://plato.stanford.edu/search/searcher.py?query=zeno
https://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=zeno&so=rel
(**) Bu hususu ziyadesiyle çok dillendirdik. Yakın bir zamanda 0,999…=1 hatasının doğrudan doğruya kullandığımız sayı sisteminin (‘Number Theory’) kaçınılmaz bir ürünü olduğunun kanıtına da işbu blogda yer veririz. Bu hataya binaen; Aritmetik, Cebir ve dolayısı ile Matematik’imizin ne denli (yetkin sözcüğünün zıttı anlamında) eksikli (ham, gelişmemiş, arızalı) olduğunun da görüleceğini, anlaşılacağını şimdiden notlamış olalım.
(***) https://www.facebook.com/Trabzonlular/videos/d%C3%BCnyan%C4%B1n-d%C3%BCz-oldu%C4%9Funu-ispat-eden-trabzonlu-abimiz-/2221209464772486/
https://www.google.com/search?q=d%C3%BCnyan%C4%B1n+d%C3%BCz+oldu%C4%9Funa+inanan+ka%C3%A7+ki%C5%9Fi+var
(****) Nick Huggett’e yeni bir ‘email’ yollayayım bakayım bu ‘asymmetry’ hususunda. Bakarsınız, bir iki yıl sonra yeni bir revizyon yayımlar https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/ adresinde, belli mi olur?
“Dear Nick, I investigated your revision too. I wish, you have discussed also the asymmetry between the infinite divisibility of the Zeno space and the atomistic aspect of Zeno time. Moreover, Zeno space does not consist of Eucledian points.”
(*****) Şu linki (Metin temiz ama Microsoft Office’in uyarısını da lütfen dikkate alınız.) tıklayabilirsiniz : Hangi Sonsuz
(#) (https://www.google.com/search?q=%C3%B6l%C3%A7%C3%BCm+hatalar%C4%B1), Ayrıca https://www.google.com/search?q=Rastgele+hata+%C3%B6rnekleri&sca_esv=636238c710bc0fc7&sxsrf=ADLYWIJjwO9q6zNmVsWsE8zvIoATiqsu1g%3A1733910772095&ei=9GBZZ-6jBbePxc8PlLzWgQ0&oq=%C3%B6l%C3%A7%C3%BCm+hatalar%C4%B1%2C+gauss&gs_lp=Egxnd3Mtd2l6LXNlcnAiGcO2bMOnw7xtIGhhdGFsYXLEsSwgZ2F1c3MqAggCMgcQIxiwAxgnMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHSIQoUABYAHACeAGQAQCYAQCgAQCqAQC4AQHIAQCYAgKgAg-YAwCIBgGQBgmSBwEyoAcA&sclient=gws-wiz-serp
(#*) https://www.google.com/search?q=lazer+metre+