Fizik –11 / d–
İçerik: Ne yaptığımızın farkında olmak ya da ol_A_mamak!
“Kendimden bahsetmeyi pek sevmem.” diyerek bahsetmiş olayım kendimden. Hatta bir_iki anımı da anlatayım altta. Hepsi de Matematik ve Geometri yani sayı ve şekil ile bağlantılı.
‘Sayı Ekseni’ deyimini ilk kez derste işiten hemen her öğrenci gibi, bu satırların yazanı fakir de edepsiz ve hatta geri zekâlıymış gibi görünmemek için parmak kaldırıp Matematik öğretmenine sor_A_mamıştır ’sayıların niçin bir eksen’, yani düz çizgi üstünde yer alabileceğini.
Hani bir düz çizgi çizilir de bir yerine dik bir kesme konur ve altına sıfır anlamında 0 yazılır. Sağ taraf pozitif, sol taraf negatif sayılar içindir.
Parmak kaldırılıp sorulamamış ikinci soru da pozitif (negatif) sayıların niçin sağ (sol) tarafa yazıldığı da niçin tersine olmadığına ilişkindir.
Gerçekten de, negatif sayıların sağ tarafta pozitif sayıların ise, sol tarafta olması ters geliyor insana. Değil mi?
Demek ki, Matematik birazcık bile olsa karışık psikoloji ile.
Belki, sayıları kondurmak için de titiz öğretmenlerin iki uca koyduğu ardışık üç nokta ile sonsuzluk çağrışımı yaptığı ama genellikle düz bir çizgi parçası kullanılıyor oluşunun da altında mühim bir psikolojik özellik yatıyor olabilir mi? Olamaz mı?
Peki ya parabol, hiperbol falan veya helezon, spiral filan kullanılamaz mı acaba aynı amaçla? Niçin olmasın? Ama, illa da billa da düz çizgi kullanılır. Niçin acaba?
Demek ki, (her değilse bile) çoğu insanın aklına ‘sayılar’ denince düz bir çizgi geliyor (otomatikman).
Çizgi üzerindeki iki nokta arasında kaç tane nokta vardır? Bilmiyoruz. Sayım yapabilme olanağımız yok. Başka yoldan tespit etme, saptama olanağımız da yok. Ama, olsa olsa yöntemiyle, noktanın parçası, eni, boyu, derinliği, kaplamı vs. olmadığı hasebiyle (Öklid’in “Elementler” adlı kitabına göre), sonsuz nokta olduğunu söylüyoruz. İnanmayan mı var? “—Tersini kanıtla madem.” diyerek sıyrılıveriyoruz işin içinden.
Peki ya iki Gerçek Sayı’nın (‘Real Number’) arasında kaç tane Gerçek Sayı vardır? Bunu da bilmiyoruz. Sayım yapabilme olanağımız yok. Başka yoldan tespit etme, saptama olanağımız da yok. Ama, olsa olsa yöntemiyle, hiçbir Gerçek Sayı’nın hiçbir Gerçek Sayı’ya bölümünün sıfır olmayacağı bilgisiyle, her iki Gerçek Sayı’nın arasında sonsuz Gerçek Sayı olduğunu söylüyoruz. İnanmayan mı var? “—Tersini kanıtla madem.” diyerek sıyrılıveriyoruz işin içinden.
Dahası, “Her düz çizgiyi sündürsek veya büzsek bile her hangi iki nokta arasındaki noktaların sayısını demeyelim de sıklığını değiştiremiyoruz.” diyen de çok. Ama, örneğin 1 santimetre uzunluğundaki düz çizgi parçasında mı yoksa 2 santimetre uzunluğundaki düz çizgi parçasında mı daha çok nokta olduğunu da bilmiyoruz. Öğretmenlere sormanın da âlemi yok doğrusu. Ama, daha önceki bazı satırlarımızda irdelediğimiz gibi, bu çizgi parçalarının uçlarını birleştiren düz çizgilerin kesiştiği noktadan bu iki çizgiyi de kesecek çizgilerin, önceki iki düz çizgi parçalarının her ikisinin de her noktasından geçmesi gerektiğini düşünüyoruz. (*) Daha kısa bir örnek şudur: Eş merkezli iki (diyelim ki, 1 santimetre ve 2 santimetre çaplı) çemberin hangisi daha çok (sık) nokta barındırır acaba?
Bu gibi konular Nick Huggett’ın ‘Stanford Encyclopedia of Philosophy’ platformundaki bir makalesinin 6 Mart 2024 tarihi öncesindeki versiyonunda da tartışılmaktaydı. (**) Bu makalenin sonundaki adrese yazıp ilk versiyonu talep ediniz ve böylelikle iki versiyon arasındaki farkı inceleme fırsatı bulabilirsiniz. Bu iki metni de inceleme fırsatı bulan şanslılardan biri, bu satırların fakir yazanıdır. (***)
Yine önceki yazılarımızda irdelemiş idik; 1, 3, 5, … gibi Tek Doğal Sayılar, açıktır ki, Tek sayılması gereken ∞’a büyürken 2, 4, 6 gibi Çift Doğal Sayılar da Çift sayılması gereken ∞’a büyür. Bu durumda, 1 santimetre uzunluğundaki doğru parçasında barınan noktalar ile 2 santimetre uzunluğundaki doğru parçasında barınan noktalar aynı Tek sayılması gereken ∞’a mı büyür yoksa Çift sayılması gereken ∞’a mı? Aynı soru çapı 1 santimetre ve 2 santimetre olan eş merkezli çemberlerin barındırdığı noktalar için de sorulabilir. Keza, bir kare içindeki noktaların kenar ayırtları üzerindekiler ile kıyaslanması da türlü çeşitli tartışmaya açıktır. Belki de, bu gibi sorulara kafa patlatmak yerine pirinç taşı ayıklamak veya pöstekinin kıllarını saymak yahut da samanlıkta iğne aramak yeğlenebilir.
Yine de konuyu kapatmazdan evvel, N. Hugget’ın sıkça andığı Wesley C. Salmon’un ‘Space, Time, and Motion’ adlı kitabından söz etmeye değer. (****)
Wesley C. Salmon’un kitabından bazı bölümleri hemen altta incelemek mümkündür.
Konumuzla ilgili olarak şu PDF belge de incelenebilir: STM (<–Tıklayınız)
Bahsetmek istediğim bir başka anım da, şimdikine kıyasla (!) daha genç olduğum günlerden. O zamanki eğitim sisteminde orta 3’den lise 1’e geçtiğim yaz birden boy atmıştım. Bu nedenle de giysilerimin hepsinin yenilenmesi gerekmişti. Gelgelelim, Lise 1 kötü başladı idi. Emin Oktay Tarihi ile başım zaten oldum olası dertte idi. (#) Bu dertlere bir de Matematik ama daha doğrusu [müfredattaki Cebir, Trigonometri, Kartezyen Geometri (Sentetik Geometri) ile pek sorunum yoktu ama (Uzay Geometrisi gibi bir alt dalı da olan) ] İspatlı Geometri (Analitik Geometri) dersi eklenmişti. Dursun Ekşi (Saygı, sevgi ve borçlulukla anarım.) öğretmen sınıfa girerken sınıf defterini imzalayacağı kalemi ceketinin iç cebinden çıkartırken, sağa sola bakmaz dümdüz adımlarla kürsüye ilerlerken “Tiyorğem bir!” derdi. Bir_iki dakika sonra da devamını yazdırırdı. İşte o baştaki haftalarda bu fakir aval aval bakınmaktan başka hemen hemen hiçbir şey yapamadı İspatlı Geometri saatleri boyunca. Dursun öğretmen sadece, ön sıralarda oturan iki senelik Emine arkadaşı kaldırırdı bazen tahtaya, ispatları yapsın diye. İşte bu nedenle, arımı yenip sormuştum Emine arkadaşa nasıl oluyordu da İspatlı Geometri ile arası bu denli iyi olabiliyordu. “—Hiiç!” dedi idi, hemen sonrasında da ekledi idi “Ezbeeer!”
El insaf! Matematik ezberlenir mi hiç? Zaten çok denedim ama ezberleyemedi idim kitaptan bir tek teorem ispatını bile. İlk matematik sınav notum da 10 üstünden 6 geldi, hayli zayıf bir not bekliyordum hâlbuki. İhtimal, kentten ve öğrencisi olduğum okuldan Fen Lisesi’ni kazanmayı başarmış ikinci delikanlı (ilk kazanan, ortaokulumuzun bir yıl önceki mezunlarından Oğuz Durumeriç (##) Fen Lisesi’ne gitmiş idi.) olmaklığımdır bunun sebebi. Dahası, meskenimizin bahçesindeki odunlukta kendi kurduğum bir laboratuvarım vardı, Satürn IV, V roketlerinin gökyüzünde dolaştığı günlerde idolüm Wernher von Braun (###) idi ve bahçede kendi çapımda roket yapıp fırlatırdım. Daha da garibi, tavuk yumurtası ile ozmoz deneyleri ve okulda sınıf sınıf dolaşarak ozmoz gösterileri yapardım. Ama en garibi, karşı komşumuzun oğlu Ekrem ile cilli (cam bilye) ortaklığımızdan kazanıp bölüştüğümüz para ile, kette henüz inşası sürmekte olan Kültür Park’taki havuz başlangıcından mahalleli çocuklara kurbağa toplatırdım, ücreti mukabili. Niye mi kurbağa toplatırdım? Hiiç! Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta’nın kurbağa deneylerini tekrarlayabilmek için. (####) Çocukluk aklı işte; bir ucu sabit bir ucu da ince telden kaldıraçlara bağlı kurbağa bacaklarına elektrik verince hareket eden robotlar yapmış idim. O kurbağa parçalarını, evdeki buzdolabının (O zamanlardaki ad şimdiki gibi ‘soğutucu’ değildi.) ek buz parçalarıyla da örtülmüş bir bölümde saklardım. Belki de böylelikle ama farkında olmaksızın memleketin ilk organ bankasını işte o delikanlı kurmuştu! Ne yani, şimdi de daha düşük beklemesine karşın matematikten 6 almış, çok mu?
İşte o sınav sonrası günlerin bir gecesinde, masa başında kafa patlatmaktaydım geometri belası yüzünden. Bissürü şekil şemal, bisssürü de teorem, teorem, teorem! Üstelik, hiç unutmam, misafir odamız tıklım doluydu. Üçlü beşli konuşmaların, olur olmaz kahkahaların ve teoremlerin arasında cebelleşirken, hayır beyaz ışık görünmedi ama kafamın içi pırıl pırıl aydınlanıverdi bir anda. Hani karikatürlerdeki gibi, kafamın üstünde bir ampul parıldayıverdi sanki. Sonraki birkaç saniyeyi anımsayamıyorum; masadan nasıl kalktım da sandalyemi devirdim? Ne oldu, niçin kapıda davul çalmaya başladım? Misafir odasından üstüme uğrayan kalabalığa ne dedim, durumu nasıl izah ettim? Ettim mi, edebildim mi?
Ne gam! Umursamadım bile! İspatlı Geometri’yi çözmüştüm. Adı üstünde ispatlayacaksın! Nasıl mı? Hipotezleri, aksiyomları doğru olarak kabul edeceksin. Sonra, bunlardan işine yarayanları, işine yarayacak sırada arka arkaya dayayıp, tıpkı basamaklama gibi, tıpkı iki şiş bir yumak örgü ipiyle örer gibi ilerleyeceksin.
O gece nasıl uyuduğumu, uyuyup uyuyamadığımı da hatırlamıyorum şimdi. Ama ertesi gün, Dursun öğretmen sınıfa girer girmez parmak kaldırdığım, birkaç dakika önce olmuş gibi gözüm önünde. “—Ne var Çağlar!”
“—Sözlüye kalkmak istiyorum öğretmenim.”
Tahta başına erişip tebeşiri elime almıştım ki, “—Yaz bakalım; bir üçgenin…” Bu cümleyi ben tamamlamıştım bir taraftan da yazarken; “… iç açılarının toplamı yüz seksen derecedir.” Ama yazmayı tamamlayamadım; “—Otur! On!” O ilk dönem de karneme matematik on geldi, sonrakilerde de.
Ama asıl çözüm; ertesi sene, Teo Grünberg’in “Modern Mantık” kitabından izlediğimiz Mantık-Felsefe dersinde geldi. “p ise q” (if p then q) veya (p→q) basit gösteriminde olduğu gibi ‘p’ doğru ise ‘q’ da doğrudur. Aksiyomların ve önceki ispatlanmış teoremlerim ‘p’ olmak üzere yeni ‘q’lar bulacaksın. Ama bunlar da sonra eskiyip, eski ‘p’ler olup yeni ‘q’lar bulmakta kullanılacak!
Emine’ye dedim ki, bir teneffüs sırasında, “—Geometri neymiş bak söyleyeyim: p ise q! Hepsi bu!” Emine de katıla katıla gülmüştü bana.
Kıssadan hisse: Bir takım sayılar yani simgeler icat edeceksin. Aralarında da bir takım kural olduğunu varsayacaksın. O simgelerin arasındaki, bu kurallara uygun ilişkilerine Cebir diyeceksin. Sayı yerine şekiller icat edip, aralarında bir takım kural bulunduğunu var sayacaksın. Örneğin, ‘Yöndeş dar açılar eşittir.’ gibi asla kanıtlanamaz veya daha basitinden ‘Kesişmeyen doğrular paraleldir.’ gibi daha basit görünen ama bir evvelki gibi asla kanıtlanamaz olan (İki doğruyu nereye dek izleyeceksin de kesişip kesişmediklerini saptayacaksın?) varsayımlar aksiyom, postulat veya premis (‘premisses’) olacak. Bütün bunları üst üste koyarak da matematiği inşa edeceksin.
Özet: Matematik tümüyle mantık (#####) ürünüdür!
Yakın ileriki yazılar için bir soru: Matematik gerçek evrenle nasıl (/niçin) örtüşür?
Hadi ileriye bırakmadan buracıkta yanıtlayıverelim; (ilk yazımızda konu edindiğimiz ve sonraki yazılarmızın temeli olan, Einstein’ın ‘comprehension’ ikileminde sunduğu gibi) bizim kavrayışımızdan ayrık bir evren yok ki! Evren hakkında, gerçeklik hakkında bildiğimiz her şey, bizim evren sandığımızdan, bizim gerçeklik sandığımızdan ibaret. Değil mi?
Evrenin, gerçekliğin bizim anladığımızdan farklı olduğunu nasıl tespit edeceğiz, saptayacağız, (hadi çekinmeden yazalım) anlayacağız?
(*) https://tr.wikipedia.org/wiki/Sonsuz#/media/Dosya:Infinity_paradoxon_-_one-to-one_correspondence_between_infinite_set_and_proper_subset.gif
(**) https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/
(***) Avukatıma sorayım; ‘O yazışmaları açıklayabilir miyim?’ diye. Yanıt olumlu olursa, söz o yazışmaları açıklarım. Hatta, çıkınlarımı bir kurcalayayım bakayım; belki N. Huggett makalesinin ilk versiyonu bilgisayarlarımdan veya taşınabilir belleklerden birinin bir yerlerinde mevcuttur.
(****) https://www.google.com/search?q=Salmon%2C+space%2C+time%2C+and+motion+pdf&sca_esv=5201d3bfa78652ae&sxsrf=ADLYWILnq46n4fFK_WCOalFmjVYAo3BAsA%3A1733518900602&ei=NGZTZ4qvJOSMxc8Pt_by2Qw&ved=0ahUKEwiKmaCShZSKAxVkRvEDHTe7PMsQ4dUDCA8&uact=5&oq=Salmon%2C+space%2C+time%2C+and+motion+pdf&gs_lp=Egxnd3Mtd2l6LXNlcnAiI1NhbG1vbiwgc3BhY2UsIHRpbWUsIGFuZCBtb3Rpb24gcGRmMgUQIRigAUiJpgFQwQtYupEBcAF4AZABAJgBgQGgAeMDqgEDMC40uAEDyAEA-AEBmAIDoAL_AcICChAAGLADGNYEGEfCAgcQIxiwAhgnwgIIEAAYExgNGB7CAgoQABgTGAgYDRgemAMAiAYBkAYIkgcDMS4yoAfRCg&sclient=gws-wiz-serp
(#) https://www.google.com/search?q=emin+oktay+ger%C3%A7ek+ad%C4%B1
Ayrıca; https://www.google.com/search?q=emin+oktay+tarih+kitab%C4%B1&sca_esv=5201d3bfa78652ae&sxsrf=ADLYWIKdS-cxIH0nf-7yGTn6qX0e1FR5ww%3A1733520789097&ei=lW1TZ4TBBauAxc8Pj-OtaQ&oq=emin+oktay+&gs_lp=Egxnd3Mtd2l6LXNlcnAiC2VtaW4gb2t0YXkgKgIIAjIKECMYgAQYJxiKBTIFEAAYgAQyBRAAGIAEMgUQABiABDIFEAAYgAQyBRAAGIAEMgUQABiABDIFEAAYgAQyBRAAGIAEMgUQABiABEjROlC-CViaIXABeAGQAQCYAa8BoAGbCaoBAzEuObgBAcgBAPgBAZgCCqACwwnCAggQABiABBiiBJgDAIgGAZIHAzEuOaAH2i0&sclient=gws-wiz-serp
(##) https://math.uiowa.edu/people/oguz-durumeric
Oğuz da, ben de Dilek Sineması’nın Cumartesi 14:20 seansı müdavimlerindendik. Dahası, İspanyol gitar kursuna giderdik. O yıl Milliyet Gazetesi’nin müzik eki ‘Hey’ dergisi, liselerarası müzik yarışması düzenlemiş idi. Ama Müzik öğretmenimiz (Türkiye güzelimiz Aydan Şener’in babası) Nezir beyefendinin çok arzulamasına karşın ailelerimiz izin vermediği için (Nil Karaibrahimgil’in babasının da fiilen desteklediği) orkestramız gayet kısa ömürlü oldu.
(###) https://www.google.com/search?q=Wernher+von+Braun
(####) O günleri ve anılan olayları anlattığım bir ‘Gençlik Filmi Senaryosu’ ile TRT 25. KURULUŞ YILI yarışmalarında ödül kazanmıştım. Önceki başbakanlarımızdan Mesut Yılmaz’ın Basın Müşaviri Sevgi Ulasay hanımefendi şahidimdir.
(#####) Akıl yürütmek, uslamlamak, muhakeme etmek, ‘comprehension’ anlamında. ‘Comprehension’ sözcüğünün hesapla anlamındaki ‘compute’ sözcüğü ile ortak köke sahip olduğu gözden kaçırılmamalıdır. ‘Computation’ sözcüğünün ölçüm, ölçümleyiş anlamına da geldiğini görmek için şu bağlantıya bakılabilir: https://tureng.com/en/turkish-english/computation
Benzer ortaklıklar Arapça ve güzel Türkçe’mizde de var elbet. Ama bu husus, başka içerikli yazıların konusu olmaya daha çok yakışsa gerektir.
