O yazıda ve başkaları tarafından da başka yazılarda, evrensel Bilim Yasaları’nın, evrenin başından beri aynı olup olmadığı sorgulanır. Bu konuda R. Feyman’ın bir notunu paylaşmak istedim; alttaki resimde sarı boyalı cümle.
Fizik –11 / f–
İçerik: Ne yaptığımızın farkında olmak ya da ol_A_mamak!
Parmenides ve Zeno, günümüzden yaklaşık 2500 yıl önce demiş ki, mealen; “Aşil ile kaplumbağa arasındaki uzaklık L metre olsun. Aşil kaplumbağaya erişmek için önce yarıya dek gelmeli yani L/2 kadar ilerlemeli ama bu kadar ilerlemezden evvel de bu yolun yarısına gelmeli yani L/2’nin yarısı olan L/4’e gelmeli. Böyle böyle L uzaklığı (uzunluğu) kaç kez yarıya bölünse de asla sıfır elde edil_E_meyeceğinden ötürü yarılamalar sona ermez. Demek ki, Aşil yerinden kıpırdayamaz bile. Demek ki, hiçbir şey hareket etmez. Yani, hareket gerçek değildir, yoktur.” (*)
Bu yazının sonlarında Aşil_kaplumbağa ‘paradoks’una yeniden değineceğiz. İşte o zamana dek şuracığa not etmiş olalım ki, hayaldeki her uzaklık sonsuz kez bölünebilir ama içinde yaşadığımız uzayın sonsuz kez bölünebilir olup olmadığını bilmiyoruz. Parmenides ve Zeno da bilmiyordu. Uzayın sonsuz kez bölünebilir olup olmadığını saptayacak herhangi bir aygıt, araç, makine, teknoloji bugün mevcut olmadığı gibi Parmenides ve Zeno zamanında da yoktu elbet. Gelgelelim, “—Konumuz olan ‘paradoks’ insan aklını niçin bu denli uzun süre meşgul etti?” sorusuna verilebilecek pek çok yanıttan biri şu olabilir: biyolojik çeşitlilik. Yani, bazı insanlar, zihin yapıları gereği işbu ‘paradoks’u hayale dair değil de evrensel gerçekliğe dair olduğunu sanıyor olabilirler.
Dikkatli okuyucu anımsayacaktır; 0,999…=1 sanan, yani buna inanan hem de Matematikçi olan insan sayısı da hayli çok. (**) Peki, acaba Dünya’nın düz olduğuna inanan zamandaşımız kaç kişi vardır dersiniz? Buyrunuz, kendiniz bakınız. (***)
Parmenides ve Zeno ikilisinin havadaki okun da, herhangi bir anda hareketsizlik konumundan hemen bir sonraki andaki hareketsizlik konumuna geçerken, arada an olmadığı için aslında hareket etmediğini, bunun da; Aşil_kaplumbağa ‘paradoksu’ndaki gibi hareketin gerçeklikte var olmadığını ve saltık yanılsamadan ibaret olduğunu ileri sürdükleri biliniyor. Açıktır ki, ok hareket ediyor. Demek ki, zaman, süresi sıfır uzunluğunda olan anlardan oluşmuyor. O halde, zamanın en kısa süreli dilimi var mıdır? Varsa nedir? İşte bu gibi soruların yanıtını bilmiyoruz. Şunu da anımsatmaksızın geçmeyelim; bazı Egeli bilgeler, örneğin Demokrit, maddenin, bölünemez atomlardan oluştuğunu ileri sürmüştü.
Buradan D. Hilbert’e atfedilen ‘Sonsuz Büyük Otel Paradoksu’na geçmezden evvel şu hususa dikkat çekilmezse olmaz: Parmenides ve Zeno ikilisinin, Aşil_kaplumbağa ‘paradoksu’ ile gerçek uzaya dair bir gerçek paradoks ileri sürdüğünü düşünmüş olan pek çok ün sahibi şahsiyet adı ilgili literatür sayfalarında ve hatta işbu fakir bloğun sayfalarında mevcuttur. Hâl böyle ise, Parmenides ve Zeno ikilisi Aşil_kaplumbağa ‘paradoksu’nda uzayın daha küçüğe bölünemez parçası olmadığını ima etmektedir. “Her küçük uzaklık, uzunluk yarıya bölünebilir.” demektedirler satır aralarında, alttan alta. Ok ‘paradoksu’nda ise, zamanın daha küçüğe bölünemez uzunluktaki anlardan mürekkep, bileşik olduğunu savlarlar. Demek ki, uzay_zaman bakışımsızdır onların fikrinde. “Uzay daha kısaya bölünebilir parçalardan ama zaman daha kısaya bölünemez anlardan oluşmaktadır.” Parmenides ve Zeno ikilisine göre. (****)
Bir başka ünlü ‘paradoks’ da ‘Sonsuz Büyük Otel Paradoksu’dur. Bu ‘paradoks’ aslında
∞ +1 = ∞
ve
∞ +N = ∞
aldatmacasının animasyon halidir.
Neymiş efendim? Sonsuz odalı ve her odası dolu olan bir otele kaç yeni misafir gelirse gelsin (1 nodaki misafirler 2 nolu odaya, 2 nodaki misafirler 3 nolu odaya, böyle böyle N nodaki misafirler N+1 nolu odaya aktarılarak) o otelde konaklamaları sağlanabilir imiş.
“Sonsuz odalı oteli, nerede hangi malzemeyle inşa etmişler ki?” diye sormak bile abesle iştigal aslında. Peki ama M tane odası olan çok büyük bir otele 2M, 3M, …, KM sayıda yeni konuk kabul edilebilir mi acaba?
Yeni bir POP QUiZ yayımlamadan burada yanıtlayalım. Yanıt şudur: “Evet!” Peki ama nasıl?
Gerçek bir paradokstan söz edilecekse, Planck’ın Karacisim Işıması Formülü’nde, Einstein’ın Isı Sığası Formülü’nde sonsuz büyüklükte enerji değerlerinin niçin yer aldığıdır. Evrende var olmayan değerlerle evrende var olan ışıma şiddeti ve ısı sığası gibi bir değer nasıl elde edilebilir? Bu sonuca kaç kişi karşı çıkmıştır? Evrende var olan bir değeri yine evrende var olan değerlerle açıklamak ve ilgili formülü elde etmek mümkün değil midir?
Hadi şimdi, yukarıda ikinci paragraf başındaki sözümüzü tutalım ve Aşil ile kaplumbağa arasındaki mesafeyi, uzaklığı, yakınlığı ölçmeye çalışalım, bakalım. Ölçebilecek miyiz?
Ne ile ölçelim? Hadi bir uzun çelik şerit metre kullanalım.
Nereyi ölçelim? Aşil ile kaplumbağa arasındaki birbirine en yakın iki (yaygın kullanım anlamındaki) nokta arasındaki mesafeyi, uzaklığı, yakınlığı ölçelim. Tabii, ölçüm boyunca da Aşil’in de kaplumbağanın da taş gibi kımıltısız durduğunu varsayacağız. Bu nedenle elimizi çabuk tutalım ve metreyi Aşil’den kaplumbağaya doğru uzatalım. Hayır, hayır! “Yarıya gelmeden … “ diye başlamayın lütfen! Hep biliyoruz ki, metremiz de başka nesneler de hareket edebilir. Demeye kalmadan, metremiz daha uzamaz oluyor. Meğer, ön ucu kaplumbağaya değmiş bile. Daha fazla zorlamayalım, metremiz esneyebilir çünkü.
Bakalım bakalım bizdeki uca! X metre YY santimetre Z milimetre görmüş olalım. Demek ki, şöyle yazabiliriz bu uzaklığı: X,YYZ metre.
Ama, biraz zorlayıp esnetmiş olabilir miyiz acaba metremizi, az önce? Tereddüte mahal yok! Yeniden ölçeriz. A_aa! Bu kez de X,YYW metre mi ölçtük? Ne yapacağız şimdi? Ortalama mı alalım; yeniden ve üçüncü bir ölçüm mü yapalım?
Kaç ölçümde durmalı? Kaç ölçüm yeterli olur? Ölçüm sonuçları niçin aynı çıkmıyor? Metre hep aynı metre, değişmiyor. Aşil ve kaplumbağa aynı, aynı yerdeler, kımıldamıyorlar. Başka her şey de aynı ama “başka her şey de aynı” anlamındaki ‘ceteris paribus’ veya ‘si omnia eadem’ gibi Latince kelâmın hükmü var mı?
Şu kadarı besbellidir: Heraklit’e atfedilen “Aynı derede iki kez yıkanamayız.” sözü doğruysa aynı metreyle de iki kez aynı sonuç elde edeceğimiz uzunluk ölçümünü yapamayız. Tesadüfen pek çok kez X,YYW ölçüm sonucu elde etmiş olabilmemiz, virgülden sonra sadece üç basamak kullanmış olmamızdandır. (#)
Daha duyarlı ölçüm aracı örneğin lazer metre (#*) kullanmak çözüm olabilir mi?
Önceki yazılarımızda değinmiştik; ışığın duyarlılığının ölçütü dalga boyudur. Uzun dalga boylu optik mesafe ölçme araçları kullansak, o ölçüde hata payını baştan kabul etmiş oluruz. Çok kısa dalga boylu, lazer ışığından da kısa dalga boylu ışık, örneğin X_ışını veya γ_ışını (gamma) kullansak türlü çeşitli zararlara yol açmış oluruz. Peki, bu konuda çaresiz miyiz? Evet, çaresiziz! Aşil ve kaplumbağa arasındaki mesafe kadar herhangi bir uzunluk, uzaklık ölçümünde bir önceki veya bir sonraki ölçümün sonucunu elde etmek doğrudan doğruya kullanılan ölçüm aracının yüksek duyarlıklı olmayışının eseridir. Ölçüm aracımız ne denli duyarlıysa, ölçüm sonuçları da o denli geniş bir yelpazeye yayılmış olarak elde edilecektir.
Kolay bir deney olarak, masanızın kenar uzunluğunu, odanızın tavan yüksekliğini ölçebilirsiniz.
Özetle, hatalı ölçüm yoktur. Çünkü her ölçüm hata içerir. Yani, hangi ölçüm kusursuzdur? Bu soruyu yanıtlamaya çalışmak bile abesle iştigaldir. Çünkü, bir ölçümden diğerine ölçüm aracı ve ölçüm nesnesi yani her ikisi birden değişmiş olabilir.
Bu konuda ders kitaplarında bile vahim yanlışlıklar bolcadır. Şu soruda olduğu gibi: ‘Bir kuyuyu bir işçi 10 saatte kazıyor. Aynı kuyuyu 10 işçi kaç saatte kazar?’
“—Bir saat mi dediniz acaba?”
“—Evet!” ise, fena halde yanıldınız ne yazık ki! Çünkü, önceki ile aynı kuyuyu nerede(n) bulacaksınız? Ah, ‘bir işçi yerine on işçi kazsaydı’ mı denmiş olsaydı keşke? Bu kez de, o kuyunun bir tek işçi tarafından ne kadarlık bir sürede kazılmış olabileceğini nereden ve nasıl bilebilecektiniz? Hem, on işçinin kazmaları, kürekleri birbirine takılmayacak mı? Konuşmayacaklar mı?” ve benzeri pek çok soru sıralanabilir ardı ardına.
Bir de şu hayali deneyi yapalım. Diyelim ki, her şeyiyle olabildiğince benzeş (tıpatıp aynı olamayacağı için) H tane digital göstergeli elektronik saatimiz olsun. Yine diyelim ki, bunların hepsini aynı anda başlattık. Zamanı da hangi duyarlılıkta ölçebileceğimizi tartışmaya artık gerek yok sanırım. Şunu da atlamayalım; hepsini birbiri ile paralel bağlayıp elektrik vererek başlatsak bile başta farklılık yaratmaktan kaçınamayız.
Ama, asıl belirtmek istediğimiz konu gayet farklı. Diyelim ki, dijital göstergeler gün, saat, dakika, saniye olarak sol tarafında virgülün, sağ tarafta ise mili saniye (saniyenin binde biri) mertebesinde göstermekte zamanı. İşin başında; yedi virgül solunda, üç de virgül sağında olmak üzere on tane penceredeki (Çok daha fazla olsa da ne değişir?) 0 ile 9 arasındaki rakamlar tıpatıp aynı koşarken, zaman ilerledikçe farklılıklar oluşacaktır.
Peki, vaziyet buysa, biz faniler saatin gerçekte kaç olduğunu nereden bileceğiz? Zamanı nasıl ölçe_BİL_eceğiz?
Bu yazının son sorusu da, konusu da şu olsun: Alttaki ABD B-52 bombardıman uçağında ne kadarlık bir simetri hatasına tolerans gösterilir ve motorların eksenleri kesinkes paralel midir gövde eksenine?
(*) https://plato.stanford.edu/search/searcher.py?query=zeno
https://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=zeno&so=rel
(**) Bu hususu ziyadesiyle çok dillendirdik. Yakın bir zamanda 0,999…=1 hatasının doğrudan doğruya kullandığımız sayı sisteminin (‘Number Theory’) kaçınılmaz bir ürünü olduğunun kanıtına da işbu blogda yer veririz. Bu hataya binaen; Aritmetik, Cebir ve dolayısı ile Matematik’imizin ne denli (yetkin sözcüğünün zıttı anlamında) eksikli (ham, gelişmemiş, arızalı) olduğunun da görüleceğini, anlaşılacağını şimdiden notlamış olalım.
(***) https://www.facebook.com/Trabzonlular/videos/d%C3%BCnyan%C4%B1n-d%C3%BCz-oldu%C4%9Funu-ispat-eden-trabzonlu-abimiz-/2221209464772486/
https://www.google.com/search?q=d%C3%BCnyan%C4%B1n+d%C3%BCz+oldu%C4%9Funa+inanan+ka%C3%A7+ki%C5%9Fi+var
(****) Nick Huggett’e yeni bir ‘email’ yollayayım bakayım bu ‘asymmetry’ hususunda. Bakarsınız, bir iki yıl sonra yeni bir revizyon yayımlar https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/ adresinde, belli mi olur?
“Dear Nick, I investigated your revision too. I wish, you have discussed also the asymmetry between the infinite divisibility of the Zeno space and the atomistic aspect of Zeno time. Moreover, Zeno space does not consist of Eucledian points.”
(*****) Şu linki (Metin temiz ama Microsoft Office’in uyarısını da lütfen dikkate alınız.) tıklayabilirsiniz : Hangi Sonsuz
(#) (https://www.google.com/search?q=%C3%B6l%C3%A7%C3%BCm+hatalar%C4%B1), Ayrıca https://www.google.com/search?q=Rastgele+hata+%C3%B6rnekleri&sca_esv=636238c710bc0fc7&sxsrf=ADLYWIJjwO9q6zNmVsWsE8zvIoATiqsu1g%3A1733910772095&ei=9GBZZ-6jBbePxc8PlLzWgQ0&oq=%C3%B6l%C3%A7%C3%BCm+hatalar%C4%B1%2C+gauss&gs_lp=Egxnd3Mtd2l6LXNlcnAiGcO2bMOnw7xtIGhhdGFsYXLEsSwgZ2F1c3MqAggCMgcQIxiwAxgnMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHMgoQABiwAxjWBBhHSIQoUABYAHACeAGQAQCYAQCgAQCqAQC4AQHIAQCYAgKgAg-YAwCIBgGQBgmSBwEyoAcA&sclient=gws-wiz-serp
(#*) https://www.google.com/search?q=lazer+metre+
SORU : CRUDE, alttaki grafikte gösterilen direncini mi aşar, desteğini mi kırar ilk etapta?
İpucu : Canı ne isterse onu yapsın. Ben olsam, koyarım AL_ış ve SAT_ış algobotlarını direnç ve destek değerlerine, bakarım keyfime.
Fizik –11 / e–
İçerik: Ne yaptığımızın farkında olmak ya da ol_A_mamak!
Aksiyom, postulat, varsayım, iddia etmek ile eşanlama sahip ‘hypothesis’ sözcüğü, alt tez, alt sav, ön sav demektir güzel Türkçe’mizde.
Herhangi bir kişi için en alttaki sav şudur: ‘Ben varım.’
Bunun üstüne (ardına) şu yerleştirilebilir: ‘Dış dünya var.’
Peki, acaba, bu iki varlık yani ‘ben’ ve ‘dünya’ birbirinden bağımsız mıdır? Dünya ‘ben’i etkiler de (*), ‘ben’ de dünyayı etkiler miyim? Etkilersem, ne kadar?
Baruch Spinoza’ya göre, ‘ben’ evreni biçimleyebilir bile. Örneğin, ağaç bir bakışla var edilir. Bkz., https://dergipark.org.tr/tr/download/article-file/717054 Daha genişi için; https://www.google.com/search?q=russell+bat%C4%B1+felsefesi+tarihi
Gelgelelim, fizik camiasında genel kabul şudur: Dış dünya insandan bağımsız olarak işler. Yani, dış dünyanın işleyişinde gözlemcinin etkisi yoktur. Dikkatli okuyucu anımsayacaktır ki, Einstein’ın Özel Bağıllılık Kuramı şu alt sava yaslıdır: Nesnelerin hızları gözleyenden gözleyene değişse bile fizik (örneğin ışık hızı) aynı kalır.
Buna rağmen Fizik, uzayın parçasız ve kaplamsız noktalardan mı, zamanın da süresi uzunluksuz olan anlardan mı oluştuğu konusunda dilsiz gibi suskundur. Kütlenin de ne olduğunu bilmez ama, bunların hepsini de fütursuzca kullanmaktan hiç çekinmez.
Örneğin, ilk kez zaman parametresinin kullanıldığı denklem olan Galilei Eğik Atış Denklemi yazıldığında, Dünya’da hassas saat bile yoktu. Bugün bile kullanılan sarkaçlı saatlerin mucididir Galileo. O, çeperi delik bir kaptan, derinliğe bağıl olarak hızlı veya yavaş fışkıran su kolonu vasıtasıyla ölçerdi zamanı. Şunu fark etmesi de çabucak olmuştur: Delikten çıkarkenki suyun düşey hızı olamayacağı için, o su kolonunun biçimi yatay atışa maruz kalmış cismin yörüngesi ile tıpatıp benzeş olmalıydı.
Su aktıkça, kaptaki suyun derinliği azaldıkça, delikten çıkan suyun debisi de yani yatay hızı da azalacak ve su çepere daha yakın yerlere düşer olacaktı. Bu da Galileo’ya hem zamanı ölçmek hem de yatay hıza bağıl olarak yatay erimİ (‘range’) gözlemek, ölçmek ve bu ikisi arasındaki ilişkiyi saptamak olanağını vermiş olmalıdır. O arada, ‘Zaman anlardan mı oluşur?’, ‘Bir anın süresi ne kadardır?’ gibilerden sorular ‘abesle iştigal’ kategorisindedir zira.
Ama, biz gibi, daha iyi zaman ve mekân ölçü aygıtlarına sahip bilimciler açısından, şu soru sormadan, sorulmadan geçilesi değildir pek.
Y(t) = Y(0) + vtsin(Θ) – ½gt²
X(t) = X(0) + vtcos(Θ)
“–Üstteki Galilei denklemlerine (**) geçmişte uymuş olan, şimdi uymakta olan ve gelecekte uyacak olan herhangi bir parçacık, cisim var mıdır, olabilir mi?” (***)
Her şeyden önce, Galilei Denklemleri noktasal yani parçasız ve kaplamsız cisimler için geçerlidir. Ama, ‘Evrende kütlesi olup da parçası ve kaplamı, cirimi (cirmi) olmayan cisim var mıdır?’ sorusunu ‘Evet!’ diye yanıtlamak henüz mümkün değildir. Çünkü, kütlesi olup da parçası ve kaplamı, cirimi (cirmi) olmayan herhangi bir cisim keşfedilmiş, gözlenmiş değildir henüz.
Ayrıca, atış açısı olan Θ sıfır, otuz ve doksan dereceden farklı ise sin(Θ) kaçtır ve Θ sıfır, altmış ve doksan dereceden farklıysa da cos(Θ) kaçtır bilemeyiz.
Yerçekim ivmesi olan g’yi 9,81 metre_bölü_saniye_kare_almak alışkanlıklarımız arasındadır ama tam değeri tamı tamına, yani virgülden sonraki tüm basamakları ile nedir acaba? Yükseklikle değişeceğini biliyoruz da, Dünya magmasının değişimi ile de değişir mi mesela?
İlk hız olan v değerini tamı tamına ölçmüş olabilir miyiz; virgülden sonra kaçıncı basamağa dek?
Bu koşullar bağlamında yineleyelim bu yazının konusu olan soruyu: Galilei denklemlerine geçmişte uymuş olan, şimdi uymakta olan ve gelecekte uyacak olan herhangi bir parçacık, cisim var mıdır, olabilir mi?
Daha da vahim soru şu değil midir? “Olmadı! Yok! Olmayacak!” diye yanıtlanıyorsa, bir tek parçacık dahi tamı tamına uymuyorsa da Galilei Denklemleri ve dahi diğer benzeri Fizik denklemleri acep niye yazılıyordur ki?
İşte geldik en alttaki, en öndeki, en zor soruya: “Acaba, Fizik’e yaklaşımımız mı yanlış?”
O da ne? Daha altta, daha önde, daha zor olan şu soru mu var? Sahi, Fizik nedir? (****)
(*) Örneğin, Karl Marx’a atfedilen ama çok daha öncesinden beri bilinen şu sözde olduğu gibi; ‘İnsan sarayda başka, kulübede başka düşünür.’ Örneğin, Güneş ‘ben’i ısıtır da kar üşütür.
(**) https://tr.wikipedia.org/wiki/At%C4%B1%C5%9F_hareketi
(***) Bu soru, bu satırların yazanı bencileyin fakirin, Harun Rızatepe (Saygı, sevgi ve borçlulukla anarım.) ile başladığı Bilim Felsefesi Doktora’sının başlangıç sorusudur.
(****) Daha çok sayıda harf kullanarak aynı soru şöyle de sorulabilir: Sahi, (bilinen, bildiğimizi iddia ettiğimiz) Fizik nedir?
SORU 1 : XU030, alttaki grafikte okla gösterilen değere bu hafta içinde ulaşır mı?
SORU 2 : O değere ulaşırsa, sonra ne yapar?
İpucu : Yok!
Fizik –11 / d–
İçerik: Ne yaptığımızın farkında olmak ya da ol_A_mamak!
“Kendimden bahsetmeyi pek sevmem.” diyerek bahsetmiş olayım kendimden. Hatta bir_iki anımı da anlatayım altta. Hepsi de Matematik ve Geometri yani sayı ve şekil ile bağlantılı.
‘Sayı Ekseni’ deyimini ilk kez derste işiten hemen her öğrenci gibi, bu satırların yazanı fakir de edepsiz ve hatta geri zekâlıymış gibi görünmemek için parmak kaldırıp Matematik öğretmenine sor_A_mamıştır ’sayıların niçin bir eksen’, yani düz çizgi üstünde yer alabileceğini.
Hani bir düz çizgi çizilir de bir yerine dik bir kesme konur ve altına sıfır anlamında 0 yazılır. Sağ taraf pozitif, sol taraf negatif sayılar içindir.
Parmak kaldırılıp sorulamamış ikinci soru da pozitif (negatif) sayıların niçin sağ (sol) tarafa yazıldığı da niçin tersine olmadığına ilişkindir.
Gerçekten de, negatif sayıların sağ tarafta pozitif sayıların ise, sol tarafta olması ters geliyor insana. Değil mi?
Demek ki, Matematik birazcık bile olsa karışık psikoloji ile.
Belki, sayıları kondurmak için de titiz öğretmenlerin iki uca koyduğu ardışık üç nokta ile sonsuzluk çağrışımı yaptığı ama genellikle düz bir çizgi parçası kullanılıyor oluşunun da altında mühim bir psikolojik özellik yatıyor olabilir mi? Olamaz mı?
Peki ya parabol, hiperbol falan veya helezon, spiral filan kullanılamaz mı acaba aynı amaçla? Niçin olmasın? Ama, illa da billa da düz çizgi kullanılır. Niçin acaba?
Demek ki, (her değilse bile) çoğu insanın aklına ‘sayılar’ denince düz bir çizgi geliyor (otomatikman).
Çizgi üzerindeki iki nokta arasında kaç tane nokta vardır? Bilmiyoruz. Sayım yapabilme olanağımız yok. Başka yoldan tespit etme, saptama olanağımız da yok. Ama, olsa olsa yöntemiyle, noktanın parçası, eni, boyu, derinliği, kaplamı vs. olmadığı hasebiyle (Öklid’in “Elementler” adlı kitabına göre), sonsuz nokta olduğunu söylüyoruz. İnanmayan mı var? “—Tersini kanıtla madem.” diyerek sıyrılıveriyoruz işin içinden.
Peki ya iki Gerçek Sayı’nın (‘Real Number’) arasında kaç tane Gerçek Sayı vardır? Bunu da bilmiyoruz. Sayım yapabilme olanağımız yok. Başka yoldan tespit etme, saptama olanağımız da yok. Ama, olsa olsa yöntemiyle, hiçbir Gerçek Sayı’nın hiçbir Gerçek Sayı’ya bölümünün sıfır olmayacağı bilgisiyle, her iki Gerçek Sayı’nın arasında sonsuz Gerçek Sayı olduğunu söylüyoruz. İnanmayan mı var? “—Tersini kanıtla madem.” diyerek sıyrılıveriyoruz işin içinden.
Dahası, “Her düz çizgiyi sündürsek veya büzsek bile her hangi iki nokta arasındaki noktaların sayısını demeyelim de sıklığını değiştiremiyoruz.” diyen de çok. Ama, örneğin 1 santimetre uzunluğundaki düz çizgi parçasında mı yoksa 2 santimetre uzunluğundaki düz çizgi parçasında mı daha çok nokta olduğunu da bilmiyoruz. Öğretmenlere sormanın da âlemi yok doğrusu. Ama, daha önceki bazı satırlarımızda irdelediğimiz gibi, bu çizgi parçalarının uçlarını birleştiren düz çizgilerin kesiştiği noktadan bu iki çizgiyi de kesecek çizgilerin, önceki iki düz çizgi parçalarının her ikisinin de her noktasından geçmesi gerektiğini düşünüyoruz. (*) Daha kısa bir örnek şudur: Eş merkezli iki (diyelim ki, 1 santimetre ve 2 santimetre çaplı) çemberin hangisi daha çok (sık) nokta barındırır acaba?
Bu gibi konular Nick Huggett’ın ‘Stanford Encyclopedia of Philosophy’ platformundaki bir makalesinin 6 Mart 2024 tarihi öncesindeki versiyonunda da tartışılmaktaydı. (**) Bu makalenin sonundaki adrese yazıp ilk versiyonu talep ediniz ve böylelikle iki versiyon arasındaki farkı inceleme fırsatı bulabilirsiniz. Bu iki metni de inceleme fırsatı bulan şanslılardan biri, bu satırların fakir yazanıdır. (***)
Yine önceki yazılarımızda irdelemiş idik; 1, 3, 5, … gibi Tek Doğal Sayılar, açıktır ki, Tek sayılması gereken ∞’a büyürken 2, 4, 6 gibi Çift Doğal Sayılar da Çift sayılması gereken ∞’a büyür. Bu durumda, 1 santimetre uzunluğundaki doğru parçasında barınan noktalar ile 2 santimetre uzunluğundaki doğru parçasında barınan noktalar aynı Tek sayılması gereken ∞’a mı büyür yoksa Çift sayılması gereken ∞’a mı? Aynı soru çapı 1 santimetre ve 2 santimetre olan eş merkezli çemberlerin barındırdığı noktalar için de sorulabilir. Keza, bir kare içindeki noktaların kenar ayırtları üzerindekiler ile kıyaslanması da türlü çeşitli tartışmaya açıktır. Belki de, bu gibi sorulara kafa patlatmak yerine pirinç taşı ayıklamak veya pöstekinin kıllarını saymak yahut da samanlıkta iğne aramak yeğlenebilir.
Yine de konuyu kapatmazdan evvel, N. Hugget’ın sıkça andığı Wesley C. Salmon’un ‘Space, Time, and Motion’ adlı kitabından söz etmeye değer. (****)
Wesley C. Salmon’un kitabından bazı bölümleri hemen altta incelemek mümkündür.
Konumuzla ilgili olarak şu PDF belge de incelenebilir: STM (<–Tıklayınız)
Bahsetmek istediğim bir başka anım da, şimdikine kıyasla (!) daha genç olduğum günlerden. O zamanki eğitim sisteminde orta 3’den lise 1’e geçtiğim yaz birden boy atmıştım. Bu nedenle de giysilerimin hepsinin yenilenmesi gerekmişti. Gelgelelim, Lise 1 kötü başladı idi. Emin Oktay Tarihi ile başım zaten oldum olası dertte idi. (#) Bu dertlere bir de Matematik ama daha doğrusu [müfredattaki Cebir, Trigonometri, Kartezyen Geometri (Sentetik Geometri) ile pek sorunum yoktu ama (Uzay Geometrisi gibi bir alt dalı da olan) ] İspatlı Geometri (Analitik Geometri) dersi eklenmişti. Dursun Ekşi (Saygı, sevgi ve borçlulukla anarım.) öğretmen sınıfa girerken sınıf defterini imzalayacağı kalemi ceketinin iç cebinden çıkartırken, sağa sola bakmaz dümdüz adımlarla kürsüye ilerlerken “Tiyorğem bir!” derdi. Bir_iki dakika sonra da devamını yazdırırdı. İşte o baştaki haftalarda bu fakir aval aval bakınmaktan başka hemen hemen hiçbir şey yapamadı İspatlı Geometri saatleri boyunca. Dursun öğretmen sadece, ön sıralarda oturan iki senelik Emine arkadaşı kaldırırdı bazen tahtaya, ispatları yapsın diye. İşte bu nedenle, arımı yenip sormuştum Emine arkadaşa nasıl oluyordu da İspatlı Geometri ile arası bu denli iyi olabiliyordu. “—Hiiç!” dedi idi, hemen sonrasında da ekledi idi “Ezbeeer!”
El insaf! Matematik ezberlenir mi hiç? Zaten çok denedim ama ezberleyemedi idim kitaptan bir tek teorem ispatını bile. İlk matematik sınav notum da 10 üstünden 6 geldi, hayli zayıf bir not bekliyordum hâlbuki. İhtimal, kentten ve öğrencisi olduğum okuldan Fen Lisesi’ni kazanmayı başarmış ikinci delikanlı (ilk kazanan, ortaokulumuzun bir yıl önceki mezunlarından Oğuz Durumeriç (##) Fen Lisesi’ne gitmiş idi.) olmaklığımdır bunun sebebi. Dahası, meskenimizin bahçesindeki odunlukta kendi kurduğum bir laboratuvarım vardı, Satürn IV, V roketlerinin gökyüzünde dolaştığı günlerde idolüm Wernher von Braun (###) idi ve bahçede kendi çapımda roket yapıp fırlatırdım. Daha da garibi, tavuk yumurtası ile ozmoz deneyleri ve okulda sınıf sınıf dolaşarak ozmoz gösterileri yapardım. Ama en garibi, karşı komşumuzun oğlu Ekrem ile cilli (cam bilye) ortaklığımızdan kazanıp bölüştüğümüz para ile, kette henüz inşası sürmekte olan Kültür Park’taki havuz başlangıcından mahalleli çocuklara kurbağa toplatırdım, ücreti mukabili. Niye mi kurbağa toplatırdım? Hiiç! Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta’nın kurbağa deneylerini tekrarlayabilmek için. (####) Çocukluk aklı işte; bir ucu sabit bir ucu da ince telden kaldıraçlara bağlı kurbağa bacaklarına elektrik verince hareket eden robotlar yapmış idim. O kurbağa parçalarını, evdeki buzdolabının (O zamanlardaki ad şimdiki gibi ‘soğutucu’ değildi.) ek buz parçalarıyla da örtülmüş bir bölümde saklardım. Belki de böylelikle ama farkında olmaksızın memleketin ilk organ bankasını işte o delikanlı kurmuştu! Ne yani, şimdi de daha düşük beklemesine karşın matematikten 6 almış, çok mu?
İşte o sınav sonrası günlerin bir gecesinde, masa başında kafa patlatmaktaydım geometri belası yüzünden. Bissürü şekil şemal, bisssürü de teorem, teorem, teorem! Üstelik, hiç unutmam, misafir odamız tıklım doluydu. Üçlü beşli konuşmaların, olur olmaz kahkahaların ve teoremlerin arasında cebelleşirken, hayır beyaz ışık görünmedi ama kafamın içi pırıl pırıl aydınlanıverdi bir anda. Hani karikatürlerdeki gibi, kafamın üstünde bir ampul parıldayıverdi sanki. Sonraki birkaç saniyeyi anımsayamıyorum; masadan nasıl kalktım da sandalyemi devirdim? Ne oldu, niçin kapıda davul çalmaya başladım? Misafir odasından üstüme uğrayan kalabalığa ne dedim, durumu nasıl izah ettim? Ettim mi, edebildim mi?
Ne gam! Umursamadım bile! İspatlı Geometri’yi çözmüştüm. Adı üstünde ispatlayacaksın! Nasıl mı? Hipotezleri, aksiyomları doğru olarak kabul edeceksin. Sonra, bunlardan işine yarayanları, işine yarayacak sırada arka arkaya dayayıp, tıpkı basamaklama gibi, tıpkı iki şiş bir yumak örgü ipiyle örer gibi ilerleyeceksin.
O gece nasıl uyuduğumu, uyuyup uyuyamadığımı da hatırlamıyorum şimdi. Ama ertesi gün, Dursun öğretmen sınıfa girer girmez parmak kaldırdığım, birkaç dakika önce olmuş gibi gözüm önünde. “—Ne var Çağlar!”
“—Sözlüye kalkmak istiyorum öğretmenim.”
Tahta başına erişip tebeşiri elime almıştım ki, “—Yaz bakalım; bir üçgenin…” Bu cümleyi ben tamamlamıştım bir taraftan da yazarken; “… iç açılarının toplamı yüz seksen derecedir.” Ama yazmayı tamamlayamadım; “—Otur! On!” O ilk dönem de karneme matematik on geldi, sonrakilerde de.
Ama asıl çözüm; ertesi sene, Teo Grünberg’in “Modern Mantık” kitabından izlediğimiz Mantık-Felsefe dersinde geldi. “p ise q” (if p then q) veya (p→q) basit gösteriminde olduğu gibi ‘p’ doğru ise ‘q’ da doğrudur. Aksiyomların ve önceki ispatlanmış teoremlerim ‘p’ olmak üzere yeni ‘q’lar bulacaksın. Ama bunlar da sonra eskiyip, eski ‘p’ler olup yeni ‘q’lar bulmakta kullanılacak!
Emine’ye dedim ki, bir teneffüs sırasında, “—Geometri neymiş bak söyleyeyim: p ise q! Hepsi bu!” Emine de katıla katıla gülmüştü bana.
Kıssadan hisse: Bir takım sayılar yani simgeler icat edeceksin. Aralarında da bir takım kural olduğunu varsayacaksın. O simgelerin arasındaki, bu kurallara uygun ilişkilerine Cebir diyeceksin. Sayı yerine şekiller icat edip, aralarında bir takım kural bulunduğunu var sayacaksın. Örneğin, ‘Yöndeş dar açılar eşittir.’ gibi asla kanıtlanamaz veya daha basitinden ‘Kesişmeyen doğrular paraleldir.’ gibi daha basit görünen ama bir evvelki gibi asla kanıtlanamaz olan (İki doğruyu nereye dek izleyeceksin de kesişip kesişmediklerini saptayacaksın?) varsayımlar aksiyom, postulat veya premis (‘premisses’) olacak. Bütün bunları üst üste koyarak da matematiği inşa edeceksin.
Özet: Matematik tümüyle mantık (#####) ürünüdür!
Yakın ileriki yazılar için bir soru: Matematik gerçek evrenle nasıl (/niçin) örtüşür?
Hadi ileriye bırakmadan buracıkta yanıtlayıverelim; (ilk yazımızda konu edindiğimiz ve sonraki yazılarmızın temeli olan, Einstein’ın ‘comprehension’ ikileminde sunduğu gibi) bizim kavrayışımızdan ayrık bir evren yok ki! Evren hakkında, gerçeklik hakkında bildiğimiz her şey, bizim evren sandığımızdan, bizim gerçeklik sandığımızdan ibaret. Değil mi?
Evrenin, gerçekliğin bizim anladığımızdan farklı olduğunu nasıl tespit edeceğiz, saptayacağız, (hadi çekinmeden yazalım) anlayacağız?
(**) https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/
(***) Avukatıma sorayım; ‘O yazışmaları açıklayabilir miyim?’ diye. Yanıt olumlu olursa, söz o yazışmaları açıklarım. Hatta, çıkınlarımı bir kurcalayayım bakayım; belki N. Huggett makalesinin ilk versiyonu bilgisayarlarımdan veya taşınabilir belleklerden birinin bir yerlerinde mevcuttur.
(#) https://www.google.com/search?q=emin+oktay+ger%C3%A7ek+ad%C4%B1
(##) https://math.uiowa.edu/people/oguz-durumeric
Oğuz da, ben de Dilek Sineması’nın Cumartesi 14:20 seansı müdavimlerindendik. Dahası, İspanyol gitar kursuna giderdik. O yıl Milliyet Gazetesi’nin müzik eki ‘Hey’ dergisi, liselerarası müzik yarışması düzenlemiş idi. Ama Müzik öğretmenimiz (Türkiye güzelimiz Aydan Şener’in babası) Nezir beyefendinin çok arzulamasına karşın ailelerimiz izin vermediği için (Nil Karaibrahimgil’in babasının da fiilen desteklediği) orkestramız gayet kısa ömürlü oldu.
(###) https://www.google.com/search?q=Wernher+von+Braun
(####) O günleri ve anılan olayları anlattığım bir ‘Gençlik Filmi Senaryosu’ ile TRT 25. KURULUŞ YILI yarışmalarında ödül kazanmıştım. Önceki başbakanlarımızdan Mesut Yılmaz’ın Basın Müşaviri Sevgi Ulasay hanımefendi şahidimdir.
(#####) Akıl yürütmek, uslamlamak, muhakeme etmek, ‘comprehension’ anlamında. ‘Comprehension’ sözcüğünün hesapla anlamındaki ‘compute’ sözcüğü ile ortak köke sahip olduğu gözden kaçırılmamalıdır. ‘Computation’ sözcüğünün ölçüm, ölçümleyiş anlamına da geldiğini görmek için şu bağlantıya bakılabilir: https://tureng.com/en/turkish-english/computation
Benzer ortaklıklar Arapça ve güzel Türkçe’mizde de var elbet. Ama bu husus, başka içerikli yazıların konusu olmaya daha çok yakışsa gerektir.
AYKIRI SORULAR -6-
Taşıt ehliyetim yok, hiçbir zaman da olmadı. Direksiyon başında çekilmiş fotoğrafım bile yok.
Ama kamyonum olsaydı, kasasına şunu yazardım: “’Düşünüyorum; demek ki varım.’ diye düşünüyorum.” (*)
Hoş olmaz mıydı?
(*) Bunu okuyan arkadaki sürücü yerinde olmayı kim ister?
Fizik –11 / c–
İçerik: Ne yaptığımızın farkında olmak ya da ol_A_mamak!
Evet, Öklid’in ‘Elementler’inde ciddi sorunlar var. İlkin, gerçek evrenin herhangi bir yerinde (parçasız, ensiz, boysuz, derinliksiz, kaplamsız) nokta var olup olmadığını bile_E_miyoruz. Çünkü nokta algılayıcı herhangi bir organa veya alet, araç, makine gibi inorganik bir olanağa sahip değiliz. (*) Yani, “Herhangi bir yerde nokta var mı yok mu?”, hele hele “Uzay, yan yana yerleşik noktalardan oluşmuş mu oluşmamış mı?” türünden sorulara yanıt bulabilmek için hiçbir olanağımız yok! “Nokta nasıl algılanır, saptanır, bulunur, keşfedilir?” bu sorunun yanıtını bilen, bir adım öne çıksın lütfen!
Çizgi de keza, uzunluğu olan ama eni ve derinliği olmayan çizgi algılamak, saptamak için yapılabilecek hiçbir şey yok.
Dikkate değer; “Ayrık iki noktadan bir tek çizgi geçer.” yahut, tersten; Öklid’in, “Çizginin iki ucunda nokta vardır.” önermeleri boştur, hükümsüzdür. Çünkü, kanıtlanamaz. Kime olursa olsun, “—Hadi bana bir çizgi (çizgi parçası aslında) göster de iki ucunda nokta var mı yok mu inceleyelim.” dense, kim gösterebilir ki bir çizgi? Çizgi çizilemez çünkü, ya üzerine çizim yapılacak ortam ya da çizecek araç ve tabii ki her ikisi de atomlardan yapılı olmayacak mı? Tabii, Öklid’e de sormak gerekir (idi), çizgiyi nereye nasıl çizebildiğini, nereye nasıl nokta koyabildiğini yahut da nokta ve çizgiyi hangi organıyla nasıl algılayabildiğini, hangi inorganik araçla nasıl saptayabildiğini.
Hele hele, çember, parabol, eşkenar üçgen, kare gibi özel geometrik çizgileri oluşturmak çizgi parçası oluşturmaktan kat be kat daha zor. (**) Örneğin, kare için (en kolayından) bir birim uzunluğunda bir doğru çizgi parçası ürettik bir ortam üzerinde diyelim. Gerçekte başaramayacağımız için ‘diyelim’ dedim. Şimdi ise, bu çizgiye dik ve yine bir birim uzunluğunda yani önceki ile tıpatıp aynı uzunlukta bir çizgi parçasını ilki ile tamı tamına 90° açı yapmak koşuluyla yerleştirmek gerekir. Nasıl olacak da, birbiri ile tıpatıp aynı uzunlukta olan iki düz çizgi oluşturabileceğiz? Açı da böyle. Bunlar verilen koşulları tam olarak değil de yaklaşık olarak sağlarsa, sonuçtaki kare de tam kare olmayacaktır. Tam kare olmayan dört kenarlı geometrik şekillere ‘yamuk’ dendiği hepimizin bilgi dağarcığındadır.
Çemberde durum çok daha zordur. Merkez noktayı nasıl oluşturacağımız sorusunu kısa bir süre için göz ardı edelim; bu merkezden tıpatıp aynı uzaklıkta ve sayılamaz çoklukta noktayı nasıl bulacağımız, ilgili ölçümleri nasıl yapacağımız, tamamı ile yanıtsız, imkânsız sorulardandır.
Bu tür beyhude örnekler listesini uzatmak yerine şu hususa dikkat çekmeyi yeğlerim: Bilimin gelişimin önündeki büyük engellerden biri, tanımsız veya zayıf tanımlı (‘ill definite’) isim ve kavramlardır. Bu zayıflığın göz ardı edilişi veya olduğu gibi kabul edilişi bir yandan bu tanımlar üstüne inşa edilecek kuramların zayıflığına yol açabilirken bir yandan da yerlerine daha iyi tanımların araştırılıp bulunmasının önünü perdeleyebilmektedir. Ayrıca, Bilim ve Matematik Eğitimi açısından da önemlidir. Aklında, konuyla ilgili pek çok soru oluşmuş bir öğrencinin bu sorununu, sorularını temizlemek yerine anılan ders konularında ilerlemeye çalışmak, öğrenciyi itmekte, konudan kopartıp günlük deyimle harcanmasına yol açmaktadır. Potansiyel bilimci sayısını da azaltmaktadır. Aynı eğitim girişimi sırasında boşa harcanmış çaba, emek ve maddi kaynaklar, söz etmeye değmeyecek kadar küçük kalır.
(*) J. D. Bernal’ın “Science in History” kitabından öğrenmiştim, ilk alet ve araçlar insan organlarının uzantısı olmak işleviyle üretilmiştir. Örneğin, kolun uzanmadığı yere çomak, taş atış, ok atış, mermi atış sırasıyda gelişme sağlanmıştır. Daha iyi görmek için, gözlük, dürbün, teleskop icat edilmiştir. Bilgisayar da, tabii insan aklına destek olmaktadır.
(**) Tiyatro oyunlarına, bu satırların yazanı yeni yetme iken, ‘temsil’ denir idi. Örneğin, Hamlet sahne üstünde değildir ama onu temsil eden bir oyuncu (temsilci) vardır. Bu oyuncunun işlevi Hamlet’i temsil etmektir. Zaten, oyun metni de Hamlet’in yaşamını an be an aktarmayıp onu temsil edebilecek nitelikte, özde olmakla yetinilmiş kısalıkta(uzunlukta)dır. Sinemada ise, oyuncu bile yoktur karşıda, ama temsilci olan oyuncunun da temsilcisi olan görüntü vardır.
İşte bu koşullar altında izleyici, kendi hayal gücü ile temsilcileri birleştirip, kaynaştırıp kendine göre bir (öznel, ‘subjective’) öykü, bir düşünce dizisi, dizgisi oluşturur.
Fizik –11 / b–
İçerik: Ne yaptığımızın farkında olmak ya da ol_A_mamak!
1 sayısını 3’e bölelim.
Aritmetiğin bölme işlemine ilişkin kurallarını kullanalım. (*)
1’de 3 yok.
ARA SONUÇ: Sıfır sonra virgül.
1’i 10 ile çarparım. 10’da 3, 3 kez var. 10 bölü 3 eşittir 3, elde var 1.
ARA SONUÇ: Sıfır sonra virgül sonra 3.
Eldeki 1’i 10 ile çarpar 10 elde ederim.
10’da 3, 3 kez var. 10 bölü 3 eşittir 3 elde var 1.
ARA SONUÇ: Sıfır sonra virgül sonra 3 sonra yine 3.
Bu yolda sürekli ilerleyerek 1/3=0,333… elde ederim.
Şimdi de sağlamasını yapalım.
0,333… = A olsun.
10×0,333… = 3,333… = 3+0,333…=3+A = 10A olur.
Demek ki,
3 = 9A ve A = 1/3.
Buraya dek hiçbir sorun yok.
0,333… + 0,333… = 0,666… olduğunda da sorun yok.
0,333… + 0,333… + 0,333… = 0,999… olduğunda da sorun yok.
Ama, 0,333… + 0,333… + 0,333… = 1 midir? Burası karanlık. Çünkü, 0,999… = 1 gibi bir sonuç çıkar ki, işte burası Sayı Kuramı’nın, dolayısı ile Sayı Sistemi’mizin, dolayısı ile Aritmetiğin ve dolayısı ile Matematiğin (çöktüğü demeyelim de) sorunlu bölgelerindendir.
Özetle; 0,999… = 1 yanlıştır ama Matematiğin kuralları uygulanarak elde edilen alttaki analiz doğrudur. Yanlış bir eşitliği, yani bir eşitsizliği doğru bir eşitlikmiş gibi veren matematiğe güven olmaz!
0,999… = B olsun.
10×0,999… = 9,999… = 9 + 0,999… = 9 + B = 10B olur.
Demek ki,
9 = 9B ve B = 1/3. (**)
Eh, peki! Aritmetik’te böylesi sorunlar var da Geometri pek mi sağlam? Değil!
En kolayından, daha önceki yazılarımızda değinmiş idik, bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu çemberi tanımlamak kolay. Ama, evrende çember bulmak mümkün değil. Yani evrende çember yok.
Efendim? “—Pergelimin iğne uçlu ayağını kâğıt gibi bir zemine batırır, öbür ayağını döndürerek çember elde ederim.” diyen mi oldu? Böylelikle elde edilen şekil çember tanımına uymaz ki. O şekildeki noktalar, merkezden eşit uzaklıkta değil. Zaten pergelin sivri ucu da bir noktaya değil, şu ya da bu genişlikte bir yüzeye batmaktadır.
Yineleyelim; evrende çembere benzeyen pek çok şekil olabilir. Ama evrende çember yoktur. Örneğin Yer Ekvatoru, meridyen ve paralelleri, çembere benzer. Ama çember değildirler.
Demek ki, çember gerçek evrenin (***) unsuru, parçası vb. değildir.
Hımm. Peki, çember gerçek evrende var değilse; dik üçgen var mıdır, eşkenar üçgen var mıdır? Dik koni de yoktur, kare de yoktur, vd.
Hımmmm. Peki, öyleyse Geometri niçin var? Yoksa, Öklid’in (hiç değilse bazı) postulatları mı yanlış? Bkz., (****)
(*) ODTÜ 1. sınıf öğrencisi (‘freshman’) iken İngilizce dersinin kredisi 9 idi ve okuma kitabımızda Isaac Asimov’dan çeşitli öyküler vardı. Bunlardan birinde, bir teknisyenin delikanlı yaşlarındaki oğlu, depoda bulduğu bir hesaplayıcı (‘calculator’) sayesinde, hesaplayıcının birkaç düğmesine basılarak elde edilen aritmetikteki dört işlemin elde edilişindeki basamakları öğrenir. Bunu babasına, sonra da alanın uzmanlarına karşı yaptığı gösteri ile tanıtlar. Elle yapılan işlemler, (bilgisayar atası sayılan) hesaplayıcı ile yapılanlarla ayı sonuçları verince herkes hayretlere düşer.
(**) Bu çelişkili sonucun nereden kaynaklandığını (açıklayan makaleyi yazıp bir dergiye göndermek yerine, zira yetersiz editör ve hakemlere rastlama olasılığı hayli yüksek) bu sitede açıklamayı yeğlerim.
(***) Müzik evreni, şiir evreni, moda evreni gibi deyimlerden ayrıştırmak amacıyla.
(***) SAYI, ŞEKİL, ÖLÇÜM –c–
Fizik –11 / c–
Fizik –11 / a–
İçerik: Ne yaptığımızın farkında olmak ya da ol_A_mamak!
“Paradoks mu absurd mu? – b –“ bölümünde gördük (*); sıfırdan sonraki virgülden sonraki basamakların hepsinde 9 olan sayı 0,999… için 1’e eşit diyen ve bu dediğini kanıtladığı iddiasında olan hayli çok sayıda makale mevcut. (**) Aynı saçmalık çerçevesinde 0,999… sayısının 1’e (eşit olmasa da) en yakın sayı olduğunu iddia eden makale sayısı da hayli çok. Bu makalelerin hayli çoğunun gayet saygın sayılan dergilerde yayımlanmışlığı da hayli ilgi çekici.
Nedense, şu husus göz ardı edilmekte; A herhangi bir gerçek sayı (‘real number’) olsun. Eğer, 0,999… = 1 olsaydı, A+0,999… = A+1 olurdu. Yani, örneğin, 1,999… = 2, 2,999… = 3 vb. olurdu. Bu da her sayının birden çok değeri olduğu anlamına gelirdi ki, böyle bir durumda Sayı Kuramı (‘Number Theory’) ve dolayısı ile Sayı Sistemi var olamazdı.
Açıktır ki, 0,999… sayısının 1’e eşitliği, matematikten öte inanç (hatta boş inanç) krallığının egemenliğindedir. Bu krallığın sultasındaki öğretmenlerin öğrencileri için üzülmemek mümkün mü?
Oysa, bu satırların yazanı bundan altı yıl kadar önce niçin hemen alttaki işlemler dizisinin doğru olduğunu ama 0,999… sayısının 1’e eşit olmadığını bulmuştu. Dahası, bu tuhaflığın sayı sisteminin hangi özelliğinden kaynaklandığını da bulmuştu. Peki yayımladı mı? Yoo, hayır. Teşebbüs bile etmedi, “—Boşver, biri bulur nasıl olsa.” gerekçesiyle umursamadı. Gel gelelim başka bulan da, daha doğrusu herhangi bir yayımlayan kişi de çıkmadı. (Bu amaçlı bir literatür taramasına gerek yok; öyle biri çıksaydı, o andan itibaren ‘0,999… = 1’ konulu makale yayınlanmaz olurdu. )
0,999… = B olsun;
10×0.999… = 10B olur. Sonuç da
9.999… = 9 + 0.999… = 9 + B = 10B veya
9 = 9B, yani
B = 1 olarak saptanır mı?
“Hadi bari şu makaleyi yazıp bir Matematik dergisine yollayalım.” denir mi acep yakında? Denmese ne olur ki? Çok mu acaip olur? 0,999… sayısının 1’e eşit olduğuna inanan Matematikçi sayısının büyüklüğündeki acaiplik yanında mini minnacık kalır.
Aritmetiğin temeli olan Sayı Sistemi’nde durum yukarıdaki kadar vahim de Geometri de farklı mı acaba?
Günümüzden 2300 yıl kadar önce İskenderiye’de yaşamış Öklid’in “Elementler” (***) adlı kitabında nokta ‘hiçbir parçası olmayan şey’ olarak tanımlanmıştır. Parçası olmadığına göre, nokta parçalanamaz demektir. Bu kadarı açık da, ‘şey’ ne demek? İşte burası tanımsız. Belirtmeye gerek yok, pek çok şey var ‘şey’ olan. Yani ‘şey’ kümesi evrensel bir kümedir.
Bakınız “Mathematics and the metaphysicians” adlı kitabında Bertrand Russell ne demiş?
“Hipotezimiz herhangi bir şey hakkındaysa ve belirli bir veya daha fazla şeyle ilgili değilse, çıkarımlarımız matematiği oluşturur. Dolayısıyla matematik, ne hakkında konuştuğumuzu asla bilmediğimiz bir konu veya söylediğimizin doğru olup olmadığı olarak tanımlanabilir.” (****)
Öklid’in nokta ve çizgi tanımları için şu ifadeler de mevcut: ‘Nokta, büyüklüğü olmayandır.’ ve ‘Çizgi, eni olmayan uzunluktur.’ (#) Dikkate şayandır, burada (Kitap 1, sayfa 1, Tanımlar 1) ‘Bir çizginin uçları noktalardır.’ (Tanım 3) denmiş olsa da çizginin noktalardan oluştuğuna dair herhangi bir ifade mevcut değildir. Ama her çizgi rastgele parçalara bölünebilir olduğu ve her parçanın uçları da noktalar olacağından, çizginin noktalardan oluştuğu gibi bir mantıksal çıkarsamaya ulaşılabilir.
Aynı kaynakta, 15. ve 16. Tanımlar çember ve çember merkezine ilişkindir. Meali şöyledir: Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar çember oluşturur. Sözü edilen ilk noktaya da çemberin merkezi denir.
Bu konudaki bir sonraki yazımızda (##), buradan başlayıp Öklid’i ilk andığımız satıra dek geri gideceğiz.
(*) https://blog.metu.edu.tr/caglart/2024/10/16/paradoks-mu-absurd-mu-b/
(**) https://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=0.999&so=rel
(***)https://web.archive.org/web/20170701145939/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html
(***) Bu alıntının kaynağı için Bkz., https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%96klid_geometrisi
(#) Öklid’in Elemanları, Türkçesi ve notlar: Ali Sinan Sertöz
http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/Dersler/113/2018/oklid-kitap-i-sinan-sertoz-2018-5-8.pdf
(##) SAYI, ŞEKİL, ÖLÇÜM –b–
Fizik –11 / b–
