Fizik –11 / a–

İçerik: Ne yaptığımızın farkında olmak ya da ol_A_mamak!

“Paradoks mu absurd mu? – b –“ bölümünde gördük (*); sıfırdan sonraki virgülden sonraki basamakların hepsinde 9 olan sayı 0,999… için 1’e eşit diyen ve bu dediğini kanıtladığı iddiasında olan hayli çok sayıda makale mevcut. (**) Aynı saçmalık çerçevesinde 0,999… sayısının 1’e (eşit olmasa da) en yakın sayı olduğunu iddia eden makale sayısı da hayli çok. Bu makalelerin hayli çoğunun gayet saygın sayılan dergilerde yayımlanmışlığı da hayli ilgi çekici.

Nedense, şu husus göz ardı edilmekte; A herhangi bir gerçek sayı (‘real number’) olsun. Eğer, 0,999… = 1 olsaydı, A+0,999… = A+1 olurdu. Yani, örneğin, 1,999… = 2, 2,999… = 3 vb. olurdu. Bu da her sayının birden çok değeri olduğu anlamına gelirdi ki, böyle bir durumda Sayı Kuramı (‘Number Theory’) ve dolayısı ile Sayı Sistemi var olamazdı.
Açıktır ki, 0,999… sayısının 1’e eşitliği, matematikten öte inanç (hatta boş inanç) krallığının egemenliğindedir. Bu krallığın sultasındaki öğretmenlerin öğrencileri için üzülmemek mümkün mü?

Oysa, bu satırların yazanı bundan altı yıl kadar önce niçin hemen alttaki işlemler dizisinin doğru olduğunu ama 0,999… sayısının 1’e eşit olmadığını bulmuştu. Dahası, bu tuhaflığın sayı sisteminin hangi özelliğinden kaynaklandığını da bulmuştu. Peki yayımladı mı? Yoo, hayır. Teşebbüs bile etmedi, “—Boşver, biri bulur nasıl olsa.” gerekçesiyle umursamadı. Gel gelelim başka bulan da, daha doğrusu herhangi bir yayımlayan kişi de çıkmadı. (Bu amaçlı bir literatür taramasına gerek yok; öyle biri çıksaydı, o andan itibaren ‘0,999… = 1’ konulu makale yayınlanmaz olurdu. )

0,999… = B olsun;
10×0.999… = 10B olur. Sonuç da
9.999… = 9 + 0.999… = 9 + B = 10B veya
9 = 9B, yani
B = 1 olarak saptanır mı?

“Hadi bari şu makaleyi yazıp bir Matematik dergisine yollayalım.” denir mi acep yakında? Denmese ne olur ki? Çok mu acaip olur? 0,999… sayısının 1’e eşit olduğuna inanan Matematikçi sayısının büyüklüğündeki acaiplik yanında mini minnacık kalır.
Aritmetiğin temeli olan Sayı Sistemi’nde durum yukarıdaki kadar vahim de Geometri de farklı mı acaba?

Günümüzden 2300 yıl kadar önce İskenderiye’de yaşamış Öklid’in “Elementler” (***) adlı kitabında nokta ‘hiçbir parçası olmayan şey’ olarak tanımlanmıştır. Parçası olmadığına göre, nokta parçalanamaz demektir. Bu kadarı açık da, ‘şey’ ne demek? İşte burası tanımsız. Belirtmeye gerek yok, pek çok şey var ‘şey’ olan. Yani ‘şey’ kümesi evrensel bir kümedir.
Bakınız “Mathematics and the metaphysicians” adlı kitabında Bertrand Russell ne demiş?
“Hipotezimiz herhangi bir şey hakkındaysa ve belirli bir veya daha fazla şeyle ilgili değilse, çıkarımlarımız matematiği oluşturur. Dolayısıyla matematik, ne hakkında konuştuğumuzu asla bilmediğimiz bir konu veya söylediğimizin doğru olup olmadığı olarak tanımlanabilir.” (****)

Öklid’in nokta ve çizgi tanımları için şu ifadeler de mevcut: ‘Nokta, büyüklüğü olmayandır.’ ve ‘Çizgi, eni olmayan uzunluktur.’ (#) Dikkate şayandır, burada (Kitap 1, sayfa 1, Tanımlar 1) ‘Bir çizginin uçları noktalardır.’ (Tanım 3) denmiş olsa da çizginin noktalardan oluştuğuna dair herhangi bir ifade mevcut değildir. Ama her çizgi rastgele parçalara bölünebilir olduğu ve her parçanın uçları da noktalar olacağından, çizginin noktalardan oluştuğu gibi bir mantıksal çıkarsamaya ulaşılabilir.

Aynı kaynakta, 15. ve 16. Tanımlar çember ve çember merkezine ilişkindir. Meali şöyledir: Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar çember oluşturur. Sözü edilen ilk noktaya da çemberin merkezi denir.

Bu konudaki bir sonraki yazımızda (##), buradan başlayıp Öklid’i ilk andığımız satıra dek geri gideceğiz.

(*) https://blog.metu.edu.tr/caglart/2024/10/16/paradoks-mu-absurd-mu-b/
(**) https://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=0.999&so=rel
(***)https://web.archive.org/web/20170701145939/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html
(***) Bu alıntının kaynağı için Bkz., https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%96klid_geometrisi
(#) Öklid’in Elemanları, Türkçesi ve notlar: Ali Sinan Sertöz
http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/Dersler/113/2018/oklid-kitap-i-sinan-sertoz-2018-5-8.pdf
(##) SAYI, ŞEKİL, ÖLÇÜM –b–
Fizik –11 / b–