4.2 Mekanizmalarda Hız ve İvme Analizi -1

Mekanizmalarda hız ve ivme analizi vektörel olarak bağıl hız ve ivme kavramı ile yapılır. Genel olarak verilen değerler ile başlanılır ve A, B, C, … gibi genellikle mafsal eksenlerinin geçtiği noktalar sırası ile kullanılarak analiz gerçekleştirilir. Elde edilecek olan hız denklemleri:

v_B = v_A + v_B/A

v_C = v_B + v_C/B

ve benzeri denklemler olacaktır. İvme için ise, benzer şekilde:

a_B = a_A + a^t_B/A + aⁿ_B/A

a_C = a_B + a^t_C/B + aⁿ_C/B

veya

a_D4 = a_D3 + a^t_D4/D3 + a^c_D4/D3

benzer denklemler yazılacaktır. Seçilen A, B, C, D noktalarının mümkün olduğunca döner mafsal ekseni üzerinde olmasının en önemli nedeni mafsal ekseninde olan bu noktanın mafsalla birleştirilen iki uzuv üzerinde daima çakışan nokta olmasıdır. Daima çakışan bu noktalar arasında bağıl hız ve ivme olmayacağından (sıfır olacağından) dolayı her iki uzuvda da bu noktaların hız ve ivmesi eşit olacaktır. Bu nedenle genel kural olarak bir uzvun üzerinde bulunan her hangi bir noktanın hız ve ivmesini belirlemeden önce bu uzvu diğer uzuvlar ile birleştiren mafsalların merkezlerinde bulunan noktaların hız ve ivmesi bulunmalıdır.

Dikkat edilmesi gereken diğer bir önemli nokta ise, konum hız ve ivme analizi sıra ile yapılabilir. Konum analizi yapılmadan hız analizi, konum ve hız analizi yapılmadan ivme analizi yapılamaz. Bunun nedeni, hız ve ivmelerin belirlenmesi sırasında gerekli olan yönler konum analizi ile belirlenecek, ivme analizi için normal ve Coriolis ivmesi terimleri sadece hız analizinde elde edilen terimlerin fonksiyonu olacaktır.

Devre kapalılık denklemleri hız ve ivme analizi için kolaylıkla kullanılabilir çünkü, bu denklemlerde mekanizmada bulunan tüm değişkenler yer almaktadır. Devre kapalılık denklemlerinin zamana göre birinci ve ikinci türevleri alındığında, ve konum değişkenlerinin birinci ve ikinci türevlerine göre çözüm yapıldığında bu değerler her hangi bir noktanın hız ve ivmesinin belirlenmesi için gerekli tüm terimleri belirleyecektir. Vektör devre denkleminin zamana göre birinci türevi bize vektörel hız devre denklemini, ikinci türevi ise vektörel ivme devre denklemini verecektir. Eğer konum değişkenleri vektör devre denklemi kullanılarak çözülmüş ise, vektör hız denklemleri konum değişkenlerinin birinci türevlerine göre (bu değişkenlere hız değişkenleri diyeceğiz) ve vektör ivme denklemleri de konum değişkenlerinin ikinci türevine göre (bu değişkenlere ivme değişkenleri diyeceğiz) lineer bir denklem takımı oluşturacaktır. Hız ve ivme değişkenleri bu denklemlerden çözüldükten sonra herhangi bir uzvun üzerinde her hangi bir noktanın hız ve ivmesi kolaylıkla bulunacaktır.

İlk örnek olarak şekilde gösterilen krank-biyel mekanizmasını ele alalım. Giriş kolunun (2 uzvu) yatay ile yaptığı açı, θ₁₂, açısal hızı $\displaystyle {{\text{ω}}_{{12}}}={{\dot{θ}}_{{12}}}=\frac{{\text{d}{{\text{θ}}_{{12}}}}}{\text{dt}}$ ve açısal ivmesi $\displaystyle {{\text{α}}_{{12}}}={{{\ddot{θ}}}_{{12}}}=\frac{{{{\text{d}}^{2}}{{\text{θ}}_{{12}}}}}{{\text{d}{{\text{t}}^{2}}}}$ verildiği kabul edilmektedir. Devre kapalılık denklemi ve eşleniği karmaşık sayılar ile yazıldığında:

s₁₄ + ic₁ + a₃e^iθ₁₃ = a₂e^iθ₁₂

s₁₄ − ic₁ + a₃e⁻^iθ₁₃ = a₂e⁻^iθ₁₂

(1a)

(1b)

Verilen bir θ₁₂ değerine göre x ve θ₁₃ konum değişkenlerinin nasıl bulunduğu bir önceki kısımda incelenmişti. Burada bu denklemlerin zamana göre birinci türevini alarak vektör hız devre denklemi ve eşleniğini elde edelim.

$\displaystyle {\dot{\text{s}}}$ ₁₄ + ia₃ω₁₃e^iθ₁₃ = ia₂ω₁₂e^iθ₁₂

$\displaystyle {\dot{\text{s}}}$ ₁₄ − ia₃ω₁₃e⁻^iθ₁₃ = −ia₂ω₁₂e⁻^iθ₁₂

(2a)

(2b)

Bu denklemlerde ω₁₂ = dθ₁₂/dt, ω₁₃ = dθ₁₃/dt, $\displaystyle {\dot{\text{s}}}$ ₁₄ = ds₁₄/dt hız değişkenleridir. (2) denklemi dikkatli bir şekilde incelendiği takdirde bu vektör denkleminin:

v_B + v_A/B = v_A

bağıl hız denkleminden farklı bir denklem olmadığı görülecektir. Bu denklemin pratik açıklaması, A ve B noktaları 3 uzvunda bulunan 2 nokta olduğu gibi mafsal merkezleri olduklarından dolayı A noktası aynı zamanda 2 uzvunda ve B noktası 4 uzvunda bulunan noktalarla daima çakışan noktalardır. Öyle ise v_A2 = v_A3 = v_A ve v_B3 = v_B4 = v_B dir. 2 uzvunu ele aldığımızda bu uzuv sabit eksen etrafında dönme yaptığından A noktasının hızı AA₀ doğrusuna dik yönde (ω₁₂‘ye göre) ve şiddeti ω₁₂|AA₀|= ω₁₂a₂ olan bir vektördür. 3 uzvu dikkate alındığında, A noktasının hızı B noktasının hızı ve bağıl hız ile ifade edildiğinde: v_A3 = v_B + v_A/B = v_A olacaktır. Bu denklemde v_A/B, A noktasının B noktasına göre bağıl hızı olup, AB doğrusuna diktir ve şiddeti θ₁₃a₃ dir. B noktası 3 ve 4 uzuvlarında daima çakışan iki noktadır ve 4 uzvu üzerinde bulunan B noktasının yörüngesi 1 ve 4 uzuvları arasında bulunan kayar mafsaldan dolayı, kayar mafsal eksenine paralel bir doğrudur. Bu durumda v_A hız vektörünün gerek şiddeti ve gerek yönü bilinmekte, v_B ve v_A/B vektörlerinin ise yönleri bilinmektedir (v_B kayar mafsal eksenine paralel ve v_A/B AB doğrusuna diktir). Bu durumda v_B ve v_A/B hız vektörlerinin şiddeti bilinmemektedir. Bu bilinmeyenler hız devre denkleminde $\displaystyle {\dot{\text{s}}}$ ₁₄ ve ω₁₃a₃ değerleridir.

Eğer devre denklemini grafik olarak çözmek istersek, denklemin her bir tarafında bir bilinmeyenin olması daha uygun olacaktır (analitik çözümlerde, genellikle bilinen terimler denklemin sağına bilinmeyen terimler solunda bulunması istenilir). Bu durumda hız devre denklemi:

$\displaystyle {\dot{\text{s}}}$ ₁₄ = ia₂ω₁₂e^iθ₁₂ − ia₃ω₁₃e^iθ₁₃

olarak yazılacaktır. Bu denklem vektörel olarak

v_B = v_A + v_A/B

dir ve dikkat edilir ise:

v_B/A = −v_A/B = −ia₃ω₁₃e^iθ₁₃

tür.

Bilinmeyen değerlerin grafik çözümü için ilk olarak v_A hız vektörünün şiddeti, |v_A|= ω₁₂|AA₀|= ω₁₂a₂ bulunur. Belirli bir k_v ölçeği kullanılarak (birimi mm/(mm/s) = s dir) uzunluğu v_A vektörü şiddetine orantılı, yönü v_A vektörü yönünde olan (bu yön A₀A doğrusuna diktir) bir doğru (vektör) çizilir. Kullanılan ölçekten dolayı, şiddet ölçüsü uzunluk birimidir. Bu v_A vektörünün başlangıç noktasından v_B vektörü yönünde (ki bu kayar mafsal ekseni yönüdür) bir doğru, bitiş noktasından ise v_A/B vektörü yönünde bir doğru (ki bu yön BA doğrusuna diktir) çizilir. Bu iki doğrunun kesiştikleri nokta v_B ve v_A/B vektörlerinin şiddetini ve yönlerini bize verecek, elde edilen üçgende v_B = v_A + v_A/B denklemi sağlanmış olacaktır. Bu şekle hız vektör çokgeni denmektedir. Bu vektörlerin uzunluklarını ölçer, k_v ölçeği ile böler isek, hız şiddetlerini belirlemiş oluruz. Örneğin ω₁₃= dθ₁₃/dt açısal hızı bulmak için ilk olarak okunan v_A/B uzunluğu k_v ile bölünerek hız şiddeti bulunduktan sonra, v_A/B = ω₁₃a₃ olduğundan ve a₃ = |AB| olduğundan, açısal hız ω₁₃ = |v_A/B|/a₃ denklemi kullanılarak belirlenebilir. Açısal hızın yönünü bulmak için ise, bulunan v_A/B hız vektörü yönü kullanılarak karar verilebilir. Örneğin şekilde v_A/B hız vektörü aşağıya doğru olduğundan ve bu vektörde B noktasının A noktasına göre bağıl hızı incelendiğinden, 3 uzvunun saat yelkovanı yönünde bir açısal hızı olduğu görülecektir.

Eğer bilinmeyen bağımlı konum değişkenleri verilen bir bağımsız konum değişkeni değerine göre çözülmüş ise, (x ve θ₁₃ değerleri verilen bir θ₁₂ değerine göre biliniyor ise) hız devre denklemi daima hız değişkenleri arasında (ω₁₂, ω₁₃ ve $\displaystyle {\dot{\text{s}}}$ ₁₄ değişkenleri) bir lineer ilişkiyi belirleyecektir. Giriş açısının zamana göre değişimi, ω₁₂, biliniyor ise, hız devre denkleminden bilinmeyen bağımlı iki hız değişkeni ω₁₃ ve $\displaystyle {\dot{\text{s}}}$ ₁₄ lineer cebir kuralları kullanılarak (2a) ve (2b) denklemlerinden kolayca çözülebilir. Genellikle iki bilinmeyenli iki denklem olduğundan Cramer kuralı kullanıldığında:

$\displaystyle {{{\dot{\text{s}}}}_{{14}}}=\frac{{\left| {\begin{array}{cc} {\text{i}{{\text{a}}_{2}}{{\text{ω}}_{{12}}}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{12}}}}}}} & {\text{i}{{\text{a}}_{3}}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}} \\ {-\text{i}{{\text{a}}_{2}}{{\text{ω}}_{{12}}}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{12}}}}}}} & {-\text{i}{{\text{a}}_{3}}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{cc} 1 & {\text{i}{{\text{a}}_{3}}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}} \\ 1 & {-\text{i}{{\text{a}}_{3}}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}} \end{array}} \right|}}=\frac{{{{\text{a}}_{2}}{{\text{a}}_{3}}\left( {{{\text{e}}^{{\text{i}\left( {{{\text{θ}}_{{12}}}-{{\text{θ}}_{{13}}}} \right)}}}-{{\text{e}}^{{-\text{i}\left( {{{\text{θ}}_{{12}}}-{{\text{θ}}_{{13}}}} \right)}}}} \right)}}{{-\text{i}{{\text{a}}_{3}}\left( {{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}+{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}} \right)}}{{\text{ω}}_{{12}}}$

veya

\displaystyle {{{\dot{\text{s}}}}_{{14}}}=-{{\text{a}}_{2}}\frac{{\sin \left( {{{\text{θ}}_{{12}}}-{{\text{θ}}_{{13}}}} \right)}}{{\cos {{\text{θ}}_{{13}}}}}{{\text{ω}}_{{12}}}

(4)

\displaystyle {{\text{ω}}_{{13}}}=\frac{{\left| {\begin{array}{cc} 1 & {\text{i}{{\text{a}}_{2}}{{\text{ω}}_{{12}}}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{12}}}}}}} \\ 1 & {-\text{i}{{\text{a}}_{2}}{{\text{ω}}_{{12}}}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{12}}}}}}} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{cc} 1 & {\text{i}{{\text{a}}_{3}}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}} \\ 1 & {-\text{i}{{\text{a}}_{3}}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}} \end{array}} \right|}}=\frac{{-\text{i}{{\text{a}}_{2}}\left( {{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{12}}}}}}+{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{12}}}}}}} \right)}}{{-\text{i}{{\text{a}}_{3}}\left( {{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}+{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}} \right)}}{{\text{ω}}_{{12}}}=\frac{{{{\text{a}}_{2}}}}{{{{\text{a}}_{3}}}}\frac{{\cos {{\text{θ}}_{{12}}}}}{{\cos {{\text{θ}}_{{13}}}}}{{\text{ω}}_{{12}}}

(5)

Dikkat edilir ise, karmaşık sayılarla yazılmış hız denklemi ve eşleniği kullanılmak yerine, istenildiğinde vektör hız denkleminin x ve y bileşenleri (karmaşık sayılarla yazılmış hız devre denkleminin reel ve sanal kısımları) ayrı ayrı eşitlenerek iki skaler denklem elde edilerek de bilinmeyen hız değişkenleri için çözüm yapılabilecektir. Örneğin krank biyel mekanizması için bu skaler denklemler:

$\displaystyle {\dot{\text{s}}}$ ₁₄ − a₃ω₁₃sinθ₁₃ = −a₂ω₁₂sinθ₁₂

(6)

a₃ω₁₃cosθ₁₃ = a₂ω₁₂cosθ₁₂

(7)

dir. Bu iki denklem kullanılarak da ω₁₃ ve $\displaystyle {\dot{\text{s}}}$ ₁₄ için aynı denklemler (4 ve 5 denklemleri) elde edilebilir. Hangi yöntem kullanılırsa kullanılsın, sonuçta hız değişkenlerini veren denklemler reel denklemler olmaları gerekir (ω₁₃ açısal hız değeri karmaşık bir değer olamaz).

İvme analizi için en kolay yöntem hız devre denkleminin zamana göre türevi alınarak, hız değişkenlerinin zamana göre türevi olan ivme değişkenlerini içeren ivme devre denkleminin elde edilmesidir. Örneğin yukarıda verilmiş olan krank-biyel mekanizması için devre kapalılık denkleminin türevi olan 2a ve 2b hız devre denklemlerinin zamana göre türevleri alındığında:

$\displaystyle {\ddot{\text{s}}}$ ₁₄ + ia₃α₁₃e^iθ₁₃ − a₃ω₁₃²e^iθ₁₃ = ia₂α₁₂e^iθ₁₂ − a₂ω₁₂²e^iθ₁₂

$\displaystyle {\ddot{\text{s}}}$ ₁₄ − ia₃α₁₃e^-iθ₁₃ − a₃ω₁₃²e^-iθ₁₃ = −ia₂α₁₂e^-iθ₁₂ − a₂ω₁₂²e^-iθ₁₂

(8a)

(8b)

denklemleri elde edilir bu denklemlerde ivme değişkenleri: α₁₂ = d²θ₁₂/dt², α₁₃ = d²θ₁₃/dt², $\displaystyle {\ddot{\text{\text{s}}}}$ ₁₄ = d²s₁₄/dt²dir. Dikkat edilir ise karmaşık sayı ile yazılmış olan bu denklem vektörel olarak:

a_B + a^t_A/B + aⁿ_A/B = a^t_A + aⁿ_A

dır. İvme devre denklemleri ivme değişkenlerine (α₁₂, α₁₃ ve $\displaystyle {\ddot{\text{s}}}$ ₁₄) göre daima lineer bir denklem takımı oluşturur. Eğer giriş kolunun açısal ivmesi α₁₂ = d²θ₁₂/dt² biliniyor ise, (8a) ve (8b) denklemleri kolaylıkla bilinmeyen ivme değişkenleri α₁₃ ve $\displaystyle {\ddot{\text{s}}}$ ₁₄ için çözülebilir. Örneğin Cramer kuralı kullanılarak α₁₃ :

\displaystyle {{\text{α}}_{{13}}}=\frac{{{{\text{a}}_{2}}{{\text{α}}_{{12}}}\cos {{\text{θ}}_{{12}}}-{{\text{a}}_{2}}{{\text{ω}}_{{12}}}^{2}\sin {{\text{θ}}_{{12}}}+{{\text{a}}_{3}}{{\text{ω}}_{{13}}}^{2}\sin {{\text{θ}}_{{13}}}}}{{{{\text{a}}_{3}}\cos {{\text{θ}}_{{13}}}}}

(9)

$\displaystyle {\ddot{s}}$ ₁₄ ise denklem (8a) nın reel kısmından:

$\displaystyle {\ddot{\text{s}}}$ ₁₄ = −a₂α₁₂sinθ₁₂ − a₂ω₁₂²cosθ₁₂ + ia₃α₁₃sinθ₁₃ + a₃ω₁₃²cosθ₁₃

(10)

olarak elde edilir. Bir başka yaklaşım ise hız değişkenleri denklemlerinin zamana göre türevlerinin alınmasıdır. Örnek olarak denklem (4) ve (5) denklemlerinde verilmekte olan hız denklemlerinin zamana göre türevleri alındığında, ivme değişkenleri elde edilecektir. (5) denkleminin türevi alındığında doğrudan elde edilen 3 uzvunun açısal ivmesi

$\displaystyle {{\text{α}}_{{13}}}=\frac{{{{\text{a}}_{2}}}}{{{{\text{a}}_{3}}}}\frac{1}{{{{{\cos }}^{2}}{{\text{θ}}_{{13}}}}}\left[ {\cos {{\text{θ}}_{{12}}}\cos {{\text{θ}}_{{13}}}{{\text{α}}_{{12}}}-\sin {{\text{θ}}_{{12}}}\cos {{\text{θ}}_{{13}}}{{\text{ω}}_{{12}}}^{2}+\cos {{\text{θ}}_{{12}}}\sin {{\text{θ}}_{{13}}}{{\text{ω}}_{{12}}}{{\text{ω}}_{{13}}}} \right]$

olacaktır. Benzer bir şekilde (4) denkleminin türevi alındığında 4 uzvunun lineer öteleme ivmesi:

$\displaystyle {{{\ddot{\text{s}}}}_{{14}}}=-{{\text{a}}_{2}}\frac{{\sin \left( {{{\text{θ}}_{{12}}}-{{\text{θ}}_{{13}}}} \right)}}{{\cos {{\text{θ}}_{{13}}}}}{{\text{α}}_{{12}}}-{{\text{a}}_{2}}\frac{{\cos \left( {{{\text{θ}}_{{12}}}-{{\text{θ}}_{{13}}}} \right)}}{{\cos {{\text{θ}}_{{13}}}}}{{\text{ω}}_{{12}}}^{2}+{{\text{a}}_{2}}\frac{{\cos {{\text{θ}}_{{12}}}}}{{{{{\cos }}^{2}}{{\text{θ}}_{{13}}}}}{{\text{ω}}_{{12}}}{{\text{ω}}_{{13}}}$

olarak elde edilir. Elde edilen denklemde terimler (9) ve (10) denklemine göre farklıdır. İşlemler doğru olarak yapıldığı takdirde, gerekli eşitlikler kullanılırsa, α₁₃ ve $\displaystyle {\ddot{\text{s}}}$ ₁₄ ü veren denklemlerin birbirine eşit olduğu gösterilebilir. Denklemler kullanıldığında aynı bağımsız parametre değerlerine göre mutlaka aynı sayısal sonuç alınacaktır.

Grafik olarak çözüm için ivme devre denklemi vektörel gösterim kullanılarak ve bazı terimlerin yerleri değiştirilerek yazıldığında:

a_B = a^t_A + aⁿ_A + a^t_B/A + aⁿ_B/A

Bu denklemde a_B/A = −a_A/B dir. Denklemin bu şekilde yazılmasının tek nedeni grafik çözüm için denklemin her iki tarafında tek bilinmeyen bırakılması içindir. a_B ivmesinin şiddeti bir bilinmeyen ve a^t_B/A teğetsel ivmesi şiddeti ise ikinci bilinmeyendir. Giriş uzvu açısal ivmesi bilindiğinden a^t_A teğetsel ivmesi; hız analizi yapıldı ise, hızlar bilindiğinden aⁿ_A ve aⁿ_B/A normal ivmeleri hem şiddet ve hem de yön olarak bilinmektedir. İvme şiddetleri için belirli bir k_a ölçeği kullanılacaktır (birimi mm/(mm/s²) = s²), ve bu ölçek ile ivme şiddetleri belirli bir uzunluk boyutuna getirilecektir. a^t_A veya aⁿ_A vektörlerinden başlayarak her iki vektör uç uca çizildiğinde A noktasının ivmesi gösterilmiştir. Bu vektörlerin ucundan bilinen aⁿ_B/A vektörü aynı ölçek kullanılarak çizilir. Bundan sonra bu uçtan yönü BA doğrusuna dik bir doğru çizilir ise, şiddeti bilinmeyen a^t_B/A vektörü yönünde bir doğru çizilmiş olacaktır (üstteki şekil). B noktasının ivmesi ise kayar mafsal eksenine paralel olmalı ve yukarıda çizilmiş olan vektörlerin vektörel toplamına eşit olmalıdır. Öyle ise, başlangıç noktasından kayar çift eksenine paralel bir doğru çizdiğimizde, AB doğrusuna dik çizilen doğru ile kesiştiği nokta hız devre denkleminin kapalılık noktasıdır. Elde edilen şekil ivme poligonu olarak adlandırılır. Bilinmeyen a^t_B/A ve a_B ivme şiddetleri şekildeki bu ivmeleri gösteren uzunlukların kullanılmış olan k_a ölçeğine bölünmesi ile elde edilir.

Hız ve ivme değişkenlerinin değerleri o konum için elde edildikten sonra, her hangi bir C noktasının hız ve ivmesi, o noktanın konum vektörünün yazılması ve zamana göre bu konum vektörünün türevlerinin alınarak hız ve ivmesinin bulunmasından ibarettir. Şekilde gösterilmiş olan mekanizmada biyel uzvunu genişleterek bir uzuv üzerinde bir C noktasını ele alalım. Şekilde r_C konum vektörü:

r_C = s₁₄ + ic₁ + b₃e^{i(θ₁₃−γ₃)}

(11)

C noktasının hız ve ivmesi:

v_C = $\displaystyle {\dot{\text{s}}}$ ₁₄ + ib₃ω₁₃e^{i(θ₁₃−γ₃)}

a_C = $\displaystyle {\ddot{\text{s}}}$ ₁₄ + ib₃α₁₃e^{i(θ₁₃−γ₃)} − b₃ω₁₃²e^{i(θ₁₃−γ₃)}

(12)

(13)

Yukarıda karmaşık sayılar ile yazılmış olan denklemler vektörel olarak:

v_C = v_B + v_C/B
ve
a_C = a_B + a^t_C/B + aⁿ_C/B

vektörel hız ve ivme denklemlerinden farklı denklemler değillerdir. Eğer verilen giriş değerleri ile (θ₁₂, ω₁₂ ve α₁₂), konum değişkenleri (θ₁₃ ve s₁₄), hız değişkenleri (ω₁₃ ve $\displaystyle {\dot{\text{s}}}$ ₁₄) ile ivme değişkenleri (α₁₃ ve $\displaystyle {\ddot{\text{s}}}$ ₁₄) için çözüm yapıldı ise, denklemin sağında bulunan tüm terimler bilinmektedir. Bu nedenle C noktasının konumu, hızı ve ivmesi kolayca vektörel toplam yapılarak bulunabilir. C noktasının konumu, hızı ve ivmesi devre kapalılık denklemi, hız devre denklemi ve ivme devre denklemi çözülmeden belirlenemez.

Grafik çözüm için ise, C noktasının hızı ve ivmesi için verilmiş olan denklemdeki vektörler belirli bir ölçek kullanılarak önceden çizilmiş olan hız ve ivme poligonu üzerine çizilerek bulunabilir. Çünkü, C noktasının hız ve ivmesini veren terimler arasında hız ve ivme devre denklemlerini çözdüğümüzde elde etmiş olduğumuz terimler bulunmaktadır. Bu nedenle hız devre denkleminde elde edilmiş olan v_B hız vektörünün uç noktasından v_C/B hız vektörünü çizdiğimiz takdirde C noktasının hızını bulabiliriz. Benzer bir şekilde ivme devre denklemi için çizmiş olduğumuz ivme poligonu üzerinde bulunan a_B ivme vektörünün uç noktasından aⁿ_C/B ve a^t_C/B ivme vektörlerini arka arkaya çizdiğimizde (sıra önemli değil) a_B vektörünün başlangıç noktasının elde edilen son uç noktaya birleştiren doğru bize C noktasının ivmesini verecektir. Alternatif olarak C noktasının konumu, hızı ve ivmesi 3 uzvu üzerinde bulunan B noktası yerine aynı uzuv üzerinde bulunan A noktası kullanılarak yazılabilir. Bu durumda C noktasının konumu, hızı ve ivmesi:

r_C = = a₂e^iθ₁₂ + c₃e^{i(θ₁₃ + β₃ − π)} = a₂e^iθ₁₂ − c₃e^{i(θ₁₃+β₃)}

v_C = ia₂ω₁₂e^iθ₁₂ − ic₃ω₁₃e^{i(θ₁₃+β₃)}

a_C = ia₂α₁₂e^iθ₁₂ − a₂ω₁₂²e^iθ₁₂ − ic₃α₁₃e^{i(θ₁₃+β₃)} + c₃ω₁₃²e^{i(θ₁₃+β₃)}

Dikkat edilir ise bu hız ve ivme denklemleri aynı zamanda:

v_C = v_A + v_C/A
ve
a_C = aⁿ_A + a^t_A + a^t_C/A + aⁿ_C/A

vektör denklemleri ile aynıdır.

Hız ve ivme poligonlarında Vektörlerin son uç noktalarını, hızını veya ivmesini gösterdikleri noktaların harfleri ile işaretleyelim (ivme poligonunda A veya C noktasının ivmesi bir kaç vektörün toplamından oluşacağından son çizilen vektörün uç noktası a veya c olarak işaretlenecektir). v_A, v_B, v_C hız vektörlerinin uç noktalarını ve a_A, a_B, a_C ivme vektörlerinin uçlarını birleştirdiğimizde her iki poligonda abc gibi iki farklı üçgen oluşacaktır. Bu üçgenle ilgili olarak önemli bir teorem bulunmaktadır:

Hız ve ivme poligonunda oluşan abc üçgeni mekanizma uzvunda bulunan A, B ve C noktalarının oluşturduğu üçgen ile benzerdir. ABC üçgeni ile abc üçgeninin yönü aynıdır (A dan B ye sonra C ye giderken yapılan dönme saat yelkovanına ters ise, hız veya ivme poligonunda a dan b ye sonra c ye giderken dönme saat yelkovanı yönüne ters olacaktır).

Yukarıda belirtilmiş olan teorem Mehmke Teoremi veya hız ve ivme görüntü prensibi olarak adlandırılır. Bu teoremin kullanım yeri bir cisim üzerinde iki noktanın hız ve ivmesini biliniyor ise, üçüncü bir noktanın hız ve ivmesinin bu üçgen benzerliğinden belirlenmesidir.