{"id":404,"date":"2024-12-12T00:28:10","date_gmt":"2024-12-11T21:28:10","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.metu.edu.tr\/caglart\/?p=404"},"modified":"2024-12-12T00:44:43","modified_gmt":"2024-12-11T21:44:43","slug":"sayi-sekil-olcum-e-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.metu.edu.tr\/caglart\/2024\/12\/12\/sayi-sekil-olcum-e-2\/","title":{"rendered":"SAYI, \u015eEK\u0130L, \u00d6L\u00c7\u00dcM \u2013f\u2013"},"content":{"rendered":"

Fizik \u201311 \/ f\u2013<\/p>\n

\u0130\u00e7erik: Ne yapt\u0131\u011f\u0131m\u0131z\u0131n fark\u0131nda olmak ya da ol_A_mamak!<\/p>\n

Parmenides ve Zeno, g\u00fcn\u00fcm\u00fczden yakla\u015f\u0131k 2500 y\u0131l \u00f6nce demi\u015f ki, mealen; \u201cA\u015fil ile kaplumba\u011fa aras\u0131ndaki uzakl\u0131k L metre olsun. A\u015fil kaplumba\u011faya eri\u015fmek i\u00e7in \u00f6nce yar\u0131ya dek gelmeli yani L\/2 kadar ilerlemeli ama bu kadar ilerlemezden evvel de bu yolun yar\u0131s\u0131na gelmeli yani L\/2\u2019nin yar\u0131s\u0131 olan L\/4\u2019e gelmeli. B\u00f6yle b\u00f6yle L uzakl\u0131\u011f\u0131 (uzunlu\u011fu) ka\u00e7 kez yar\u0131ya b\u00f6l\u00fcnse de asla s\u0131f\u0131r elde edil_E_meyece\u011finden \u00f6t\u00fcr\u00fc yar\u0131lamalar sona ermez. Demek ki, A\u015fil yerinden k\u0131p\u0131rdayamaz bile. Demek ki, hi\u00e7bir \u015fey hareket etmez. Yani, hareket ger\u00e7ek de\u011fildir, yoktur.\u201d (*)<\/p>\n

Bu yaz\u0131n\u0131n sonlar\u0131nda A\u015fil_kaplumba\u011fa \u2018paradoks\u2019una yeniden de\u011finece\u011fiz. \u0130\u015fte o zamana dek \u015furac\u0131\u011fa not etmi\u015f olal\u0131m ki, hayaldeki her uzakl\u0131k sonsuz kez b\u00f6l\u00fcnebilir ama i\u00e7inde ya\u015fad\u0131\u011f\u0131m\u0131z uzay\u0131n sonsuz kez b\u00f6l\u00fcnebilir olup olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 bilmiyoruz. Parmenides ve Zeno da bilmiyordu. Uzay\u0131n sonsuz kez b\u00f6l\u00fcnebilir olup olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 saptayacak herhangi bir ayg\u0131t, ara\u00e7, makine, teknoloji bug\u00fcn mevcut olmad\u0131\u011f\u0131 gibi Parmenides ve Zeno zaman\u0131nda da yoktu elbet. Gelgelelim, \u201c\u2014Konumuz olan \u2018paradoks\u2019 insan akl\u0131n\u0131 ni\u00e7in bu denli uzun s\u00fcre me\u015fgul etti?\u201d sorusuna verilebilecek pek \u00e7ok yan\u0131ttan biri \u015fu olabilir: biyolojik \u00e7e\u015fitlilik. Yani, baz\u0131 insanlar, zihin yap\u0131lar\u0131 gere\u011fi i\u015fbu \u2018paradoks\u2019u hayale dair de\u011fil de evrensel ger\u00e7ekli\u011fe dair oldu\u011funu san\u0131yor olabilirler.<\/p>\n

Dikkatli okuyucu an\u0131msayacakt\u0131r; 0,999\u2026=1 sanan, yani buna inanan hem de Matematik\u00e7i olan insan say\u0131s\u0131 da hayli \u00e7ok. (**) Peki, acaba D\u00fcnya\u2019n\u0131n d\u00fcz oldu\u011funa inanan zamanda\u015f\u0131m\u0131z ka\u00e7 ki\u015fi vard\u0131r dersiniz? Buyrunuz, kendiniz bak\u0131n\u0131z. (***)<\/p>\n

Parmenides ve Zeno ikilisinin havadaki okun da, herhangi bir anda hareketsizlik konumundan hemen bir sonraki andaki hareketsizlik konumuna ge\u00e7erken, arada an olmad\u0131\u011f\u0131 i\u00e7in asl\u0131nda hareket etmedi\u011fini, bunun da; A\u015fil_kaplumba\u011fa \u2018paradoksu\u2019ndaki gibi hareketin ger\u00e7eklikte var olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 ve salt\u0131k yan\u0131lsamadan ibaret oldu\u011funu ileri s\u00fcrd\u00fckleri biliniyor. A\u00e7\u0131kt\u0131r ki, ok hareket ediyor. Demek ki, zaman, s\u00fcresi s\u0131f\u0131r uzunlu\u011funda olan anlardan olu\u015fmuyor. O halde, zaman\u0131n en k\u0131sa s\u00fcreli dilimi var m\u0131d\u0131r? Varsa nedir? \u0130\u015fte bu gibi sorular\u0131n yan\u0131t\u0131n\u0131 bilmiyoruz. \u015eunu da an\u0131msatmaks\u0131z\u0131n ge\u00e7meyelim; baz\u0131 Egeli bilgeler, \u00f6rne\u011fin Demokrit, maddenin, b\u00f6l\u00fcnemez atomlardan olu\u015ftu\u011funu ileri s\u00fcrm\u00fc\u015ft\u00fc.<\/p>\n

Buradan D. Hilbert\u2019e atfedilen \u2018Sonsuz B\u00fcy\u00fck Otel Paradoksu\u2019na ge\u00e7mezden evvel \u015fu hususa dikkat \u00e7ekilmezse olmaz: Parmenides ve Zeno ikilisinin, A\u015fil_kaplumba\u011fa \u2018paradoksu\u2019 ile ger\u00e7ek uzaya dair bir ger\u00e7ek paradoks ileri s\u00fcrd\u00fc\u011f\u00fcn\u00fc d\u00fc\u015f\u00fcnm\u00fc\u015f olan pek \u00e7ok \u00fcn sahibi \u015fahsiyet ad\u0131 ilgili literat\u00fcr sayfalar\u0131nda ve hatta i\u015fbu fakir blo\u011fun sayfalar\u0131nda mevcuttur. H\u00e2l b\u00f6yle ise, Parmenides ve Zeno ikilisi A\u015fil_kaplumba\u011fa \u2018paradoksu\u2019nda uzay\u0131n daha k\u00fc\u00e7\u00fc\u011fe b\u00f6l\u00fcnemez par\u00e7as\u0131 olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 ima etmektedir. \u201cHer k\u00fc\u00e7\u00fck uzakl\u0131k, uzunluk yar\u0131ya b\u00f6l\u00fcnebilir.\u201d demektedirler sat\u0131r aralar\u0131nda, alttan alta. Ok \u2018paradoksu\u2019nda ise, zaman\u0131n daha k\u00fc\u00e7\u00fc\u011fe b\u00f6l\u00fcnemez uzunluktaki anlardan m\u00fcrekkep, bile\u015fik oldu\u011funu savlarlar. Demek ki, uzay_zaman bak\u0131\u015f\u0131ms\u0131zd\u0131r onlar\u0131n fikrinde. \u201cUzay daha k\u0131saya b\u00f6l\u00fcnebilir par\u00e7alardan ama zaman daha k\u0131saya b\u00f6l\u00fcnemez anlardan olu\u015fmaktad\u0131r.\u201d Parmenides ve Zeno ikilisine g\u00f6re. (****)<\/p>\n

Bir ba\u015fka \u00fcnl\u00fc \u2018paradoks\u2019 da \u2018Sonsuz B\u00fcy\u00fck Otel Paradoksu\u2019dur. Bu \u2018paradoks\u2019 asl\u0131nda
\n\u221e +1 = \u221e
\nve
\n\u221e +N = \u221e
\naldatmacas\u0131n\u0131n animasyon halidir.
\nNeymi\u015f efendim? Sonsuz odal\u0131 ve her odas\u0131 dolu olan bir otele ka\u00e7 yeni misafir gelirse gelsin (1 nodaki misafirler 2 nolu odaya, 2 nodaki misafirler 3 nolu odaya, b\u00f6yle b\u00f6yle N nodaki misafirler N+1 nolu odaya aktar\u0131larak) o otelde konaklamalar\u0131 sa\u011flanabilir imi\u015f.
\n\u201cSonsuz odal\u0131 oteli, nerede hangi malzemeyle in\u015fa etmi\u015fler ki?\u201d diye sormak bile abesle i\u015ftigal asl\u0131nda. Peki ama M tane odas\u0131 olan \u00e7ok b\u00fcy\u00fck bir otele 2M, 3M, \u2026, KM say\u0131da yeni konuk kabul edilebilir mi acaba?
\nYeni bir POP QUiZ yay\u0131mlamadan burada yan\u0131tlayal\u0131m. Yan\u0131t \u015fudur: \u201cEvet!\u201d Peki ama nas\u0131l?<\/p>\n

Ger\u00e7ek bir paradokstan s\u00f6z edilecekse, Planck\u2019\u0131n Karacisim I\u015f\u0131mas\u0131 Form\u00fcl\u00fc\u2019nde, Einstein\u2019\u0131n Is\u0131 S\u0131\u011fas\u0131 Form\u00fcl\u00fc\u2019nde sonsuz b\u00fcy\u00fckl\u00fckte enerji de\u011ferlerinin ni\u00e7in yer ald\u0131\u011f\u0131d\u0131r. Evrende var olmayan de\u011ferlerle evrende var olan \u0131\u015f\u0131ma \u015fiddeti ve \u0131s\u0131 s\u0131\u011fas\u0131 gibi bir de\u011fer nas\u0131l elde edilebilir? Bu sonuca ka\u00e7 ki\u015fi kar\u015f\u0131 \u00e7\u0131km\u0131\u015ft\u0131r? Evrende var olan bir de\u011feri yine evrende var olan de\u011ferlerle a\u00e7\u0131klamak ve ilgili form\u00fcl\u00fc elde etmek m\u00fcmk\u00fcn de\u011fil midir?<\/p>\n

Hadi \u015fimdi, yukar\u0131da ikinci paragraf ba\u015f\u0131ndaki s\u00f6z\u00fcm\u00fcz\u00fc tutal\u0131m ve A\u015fil ile kaplumba\u011fa aras\u0131ndaki mesafeyi, uzakl\u0131\u011f\u0131, yak\u0131nl\u0131\u011f\u0131 \u00f6l\u00e7meye \u00e7al\u0131\u015fal\u0131m, bakal\u0131m. \u00d6l\u00e7ebilecek miyiz?
\nNe ile \u00f6l\u00e7elim? Hadi bir uzun \u00e7elik \u015ferit metre kullanal\u0131m.
\nNereyi \u00f6l\u00e7elim? A\u015fil ile kaplumba\u011fa aras\u0131ndaki birbirine en yak\u0131n iki (yayg\u0131n kullan\u0131m anlam\u0131ndaki) nokta aras\u0131ndaki mesafeyi, uzakl\u0131\u011f\u0131, yak\u0131nl\u0131\u011f\u0131 \u00f6l\u00e7elim. Tabii, \u00f6l\u00e7\u00fcm boyunca da A\u015fil\u2019in de kaplumba\u011fan\u0131n da ta\u015f gibi k\u0131m\u0131lt\u0131s\u0131z durdu\u011funu varsayaca\u011f\u0131z. Bu nedenle elimizi \u00e7abuk tutal\u0131m ve metreyi A\u015fil\u2019den kaplumba\u011faya do\u011fru uzatal\u0131m. Hay\u0131r, hay\u0131r! \u201cYar\u0131ya gelmeden \u2026 \u201c diye ba\u015flamay\u0131n l\u00fctfen! Hep biliyoruz ki, metremiz de ba\u015fka nesneler de hareket edebilir. Demeye kalmadan, metremiz daha uzamaz oluyor. Me\u011fer, \u00f6n ucu kaplumba\u011faya de\u011fmi\u015f bile. Daha fazla zorlamayal\u0131m, metremiz esneyebilir \u00e7\u00fcnk\u00fc.
\nBakal\u0131m bakal\u0131m bizdeki uca! X metre YY santimetre Z milimetre g\u00f6rm\u00fc\u015f olal\u0131m. Demek ki, \u015f\u00f6yle yazabiliriz bu uzakl\u0131\u011f\u0131: X,YYZ metre.
\nAma, biraz zorlay\u0131p esnetmi\u015f olabilir miyiz acaba metremizi, az \u00f6nce? Teredd\u00fcte mahal yok! Yeniden \u00f6l\u00e7eriz. A_aa! Bu kez de X,YYW metre mi \u00f6l\u00e7t\u00fck? Ne yapaca\u011f\u0131z \u015fimdi? Ortalama m\u0131 alal\u0131m; yeniden ve \u00fc\u00e7\u00fcnc\u00fc bir \u00f6l\u00e7\u00fcm m\u00fc yapal\u0131m?
\nKa\u00e7 \u00f6l\u00e7\u00fcmde durmal\u0131? Ka\u00e7 \u00f6l\u00e7\u00fcm yeterli olur? \u00d6l\u00e7\u00fcm sonu\u00e7lar\u0131 ni\u00e7in ayn\u0131 \u00e7\u0131km\u0131yor? Metre hep ayn\u0131 metre, de\u011fi\u015fmiyor. A\u015fil ve kaplumba\u011fa ayn\u0131, ayn\u0131 yerdeler, k\u0131m\u0131ldam\u0131yorlar. Ba\u015fka her \u015fey de ayn\u0131 ama \u201cba\u015fka her \u015fey de ayn\u0131\u201d anlam\u0131ndaki \u2018ceteris paribus\u2019 veya \u2018si omnia eadem\u2019 gibi Latince kel\u00e2m\u0131n h\u00fckm\u00fc var m\u0131?
\n\u015eu kadar\u0131 besbellidir: Heraklit\u2019e atfedilen \u201cAyn\u0131 derede iki kez y\u0131kanamay\u0131z.\u201d s\u00f6z\u00fc do\u011fruysa ayn\u0131 metreyle de iki kez ayn\u0131 sonu\u00e7 elde edece\u011fimiz uzunluk \u00f6l\u00e7\u00fcm\u00fcn\u00fc yapamay\u0131z. Tesad\u00fcfen pek \u00e7ok kez X,YYW \u00f6l\u00e7\u00fcm sonucu elde etmi\u015f olabilmemiz, virg\u00fclden sonra sadece \u00fc\u00e7 basamak kullanm\u0131\u015f olmam\u0131zdand\u0131r. (#)
\nDaha duyarl\u0131 \u00f6l\u00e7\u00fcm arac\u0131 \u00f6rne\u011fin lazer metre (#*) kullanmak \u00e7\u00f6z\u00fcm olabilir mi?
\n\u00d6nceki yaz\u0131lar\u0131m\u0131zda de\u011finmi\u015ftik; \u0131\u015f\u0131\u011f\u0131n duyarl\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131n \u00f6l\u00e7\u00fct\u00fc dalga boyudur. Uzun dalga boylu optik mesafe \u00f6l\u00e7me ara\u00e7lar\u0131 kullansak, o \u00f6l\u00e7\u00fcde hata pay\u0131n\u0131 ba\u015ftan kabul etmi\u015f oluruz. \u00c7ok k\u0131sa dalga boylu, lazer \u0131\u015f\u0131\u011f\u0131ndan da k\u0131sa dalga boylu \u0131\u015f\u0131k, \u00f6rne\u011fin X_\u0131\u015f\u0131n\u0131 veya \u03b3_\u0131\u015f\u0131n\u0131 (gamma) kullansak t\u00fcrl\u00fc \u00e7e\u015fitli zararlara yol a\u00e7m\u0131\u015f oluruz. Peki, bu konuda \u00e7aresiz miyiz? Evet, \u00e7aresiziz! A\u015fil ve kaplumba\u011fa aras\u0131ndaki mesafe kadar herhangi bir uzunluk, uzakl\u0131k \u00f6l\u00e7\u00fcm\u00fcnde bir \u00f6nceki veya bir sonraki \u00f6l\u00e7\u00fcm\u00fcn sonucunu elde etmek do\u011frudan do\u011fruya kullan\u0131lan \u00f6l\u00e7\u00fcm arac\u0131n\u0131n y\u00fcksek duyarl\u0131kl\u0131 olmay\u0131\u015f\u0131n\u0131n eseridir. \u00d6l\u00e7\u00fcm arac\u0131m\u0131z ne denli duyarl\u0131ysa, \u00f6l\u00e7\u00fcm sonu\u00e7lar\u0131 da o denli geni\u015f bir yelpazeye yay\u0131lm\u0131\u015f olarak elde edilecektir.
\nKolay bir deney olarak, masan\u0131z\u0131n kenar uzunlu\u011funu, odan\u0131z\u0131n tavan y\u00fcksekli\u011fini \u00f6l\u00e7ebilirsiniz.<\/p>\n

\u00d6zetle, hatal\u0131 \u00f6l\u00e7\u00fcm yoktur. \u00c7\u00fcnk\u00fc her \u00f6l\u00e7\u00fcm hata i\u00e7erir. Yani, hangi \u00f6l\u00e7\u00fcm kusursuzdur? Bu soruyu yan\u0131tlamaya \u00e7al\u0131\u015fmak bile abesle i\u015ftigaldir. \u00c7\u00fcnk\u00fc, bir \u00f6l\u00e7\u00fcmden di\u011ferine \u00f6l\u00e7\u00fcm arac\u0131 ve \u00f6l\u00e7\u00fcm nesnesi yani her ikisi birden de\u011fi\u015fmi\u015f olabilir.
\nBu konuda ders kitaplar\u0131nda bile vahim yanl\u0131\u015fl\u0131klar bolcad\u0131r. \u015eu soruda oldu\u011fu gibi: \u2018Bir kuyuyu bir i\u015f\u00e7i 10 saatte kaz\u0131yor. Ayn\u0131 kuyuyu 10 i\u015f\u00e7i ka\u00e7 saatte kazar?\u2019
\n\u201c\u2014Bir saat mi dediniz acaba?\u201d
\n\u201c\u2014Evet!\u201d ise, fena halde yan\u0131ld\u0131n\u0131z ne yaz\u0131k ki! \u00c7\u00fcnk\u00fc, \u00f6nceki ile ayn\u0131 kuyuyu nerede(n) bulacaks\u0131n\u0131z? Ah, \u2018bir i\u015f\u00e7i yerine on i\u015f\u00e7i kazsayd\u0131\u2019 m\u0131 denmi\u015f olsayd\u0131 ke\u015fke? Bu kez de, o kuyunun bir tek i\u015f\u00e7i taraf\u0131ndan ne kadarl\u0131k bir s\u00fcrede kaz\u0131lm\u0131\u015f olabilece\u011fini nereden ve nas\u0131l bilebilecektiniz? Hem, on i\u015f\u00e7inin kazmalar\u0131, k\u00fcrekleri birbirine tak\u0131lmayacak m\u0131? Konu\u015fmayacaklar m\u0131?\u201d ve benzeri pek \u00e7ok soru s\u0131ralanabilir ard\u0131 ard\u0131na.<\/p>\n

Bir de \u015fu hayali deneyi yapal\u0131m. Diyelim ki, her \u015feyiyle olabildi\u011fince benze\u015f (t\u0131pat\u0131p ayn\u0131 olamayaca\u011f\u0131 i\u00e7in) H tane digital g\u00f6stergeli elektronik saatimiz olsun. Yine diyelim ki, bunlar\u0131n hepsini ayn\u0131 anda ba\u015flatt\u0131k. Zaman\u0131 da hangi duyarl\u0131l\u0131kta \u00f6l\u00e7ebilece\u011fimizi tart\u0131\u015fmaya art\u0131k gerek yok san\u0131r\u0131m. \u015eunu da atlamayal\u0131m; hepsini birbiri ile paralel ba\u011flay\u0131p elektrik vererek ba\u015flatsak bile ba\u015fta farkl\u0131l\u0131k yaratmaktan ka\u00e7\u0131namay\u0131z.
\nAma, as\u0131l belirtmek istedi\u011fimiz konu gayet farkl\u0131. Diyelim ki, dijital g\u00f6stergeler g\u00fcn, saat, dakika, saniye olarak sol taraf\u0131nda virg\u00fcl\u00fcn, sa\u011f tarafta ise mili saniye (saniyenin binde biri) mertebesinde g\u00f6stermekte zaman\u0131. \u0130\u015fin ba\u015f\u0131nda; yedi virg\u00fcl solunda, \u00fc\u00e7 de virg\u00fcl sa\u011f\u0131nda olmak \u00fczere on tane penceredeki (\u00c7ok daha fazla olsa da ne de\u011fi\u015fir?) 0 ile 9 aras\u0131ndaki rakamlar t\u0131pat\u0131p ayn\u0131 ko\u015farken, zaman ilerledik\u00e7e farkl\u0131l\u0131klar olu\u015facakt\u0131r.
\nPeki, vaziyet buysa, biz faniler saatin ger\u00e7ekte ka\u00e7 oldu\u011funu nereden bilece\u011fiz? Zaman\u0131 nas\u0131l \u00f6l\u00e7e_B\u0130L_ece\u011fiz?<\/p>\n

Bu yaz\u0131n\u0131n son sorusu da, konusu da \u015fu olsun: Alttaki ABD B-52 bombard\u0131man u\u00e7a\u011f\u0131nda ne kadarl\u0131k bir simetri hatas\u0131na tolerans g\u00f6sterilir ve motorlar\u0131n eksenleri kesinkes paralel midir g\u00f6vde eksenine?<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

(*) https:\/\/plato.stanford.edu\/search\/searcher.py?query=zeno
\nhttps:\/\/www.jstor.org\/action\/doBasicSearch?Query=zeno&so=rel
\n(**) Bu hususu ziyadesiyle \u00e7ok dillendirdik. Yak\u0131n bir zamanda 0,999\u2026=1 hatas\u0131n\u0131n do\u011frudan do\u011fruya kulland\u0131\u011f\u0131m\u0131z say\u0131 sisteminin (\u2018Number Theory\u2019) ka\u00e7\u0131n\u0131lmaz bir \u00fcr\u00fcn\u00fc oldu\u011funun kan\u0131t\u0131na da i\u015fbu blogda yer veririz. Bu hataya binaen; Aritmetik, Cebir ve dolay\u0131s\u0131 ile Matematik\u2019imizin ne denli (yetkin s\u00f6zc\u00fc\u011f\u00fcn\u00fcn z\u0131tt\u0131 anlam\u0131nda) eksikli (ham, geli\u015fmemi\u015f, ar\u0131zal\u0131) oldu\u011funun da g\u00f6r\u00fclece\u011fini, anla\u015f\u0131laca\u011f\u0131n\u0131 \u015fimdiden notlam\u0131\u015f olal\u0131m.
\n(***) https:\/\/www.facebook.com\/Trabzonlular\/videos\/d%C3%BCnyan%C4%B1n-d%C3%BCz-oldu%C4%9Funu-ispat-eden-trabzonlu-abimiz-\/2221209464772486\/
\n